Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tan(x)^2/(1-cos(x))

Gráfico de la función y = tan(x)^2/(1-cos(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2     
        tan (x)  
f(x) = ----------
       1 - cos(x)
f(x)=tan⁡2(x)1−cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} 
f = tan(x)^2/(1 - cos(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
tan⁡2(x)1−cos⁡(x)=0\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=84.8230006960568x_{1} = 84.8230006960568
x2=−59.6902604584246x_{2} = -59.6902604584246
x3=−91.1061862208803x_{3} = -91.1061862208803
x4=−84.8230003302448x_{4} = -84.8230003302448
x5=21.9911485852429x_{5} = 21.9911485852429
x6=−47.1238903740717x_{6} = -47.1238903740717
x7=−78.5398158202657x_{7} = -78.5398158202657
x8=15.7079639180421x_{8} = 15.7079639180421
x9=−34.5575186404877x_{9} = -34.5575186404877
x10=−40.8407059577918x_{10} = -40.8407059577918
x11=53.4070757243867x_{11} = 53.4070757243867
x12=3.14159415311091x_{12} = 3.14159415311091
x13=21.9911470034978x_{13} = 21.9911470034978
x14=−84.8230032080754x_{14} = -84.8230032080754
x15=47.1238914071164x_{15} = 47.1238914071164
x16=78.5398164739659x_{16} = 78.5398164739659
x17=−21.9911485864037x_{17} = -21.9911485864037
x18=−78.5398155696622x_{18} = -78.5398155696622
x19=59.6902606635824x_{19} = 59.6902606635824
x20=65.9734457533066x_{20} = 65.9734457533066
x21=−28.2743336670775x_{21} = -28.2743336670775
x22=84.8230000925129x_{22} = 84.8230000925129
x23=−9.42477817625918x_{23} = -9.42477817625918
x24=91.1061877173719x_{24} = 91.1061877173719
x25=−78.5398162989309x_{25} = -78.5398162989309
x26=−28.2743334269043x_{26} = -28.2743334269043
x27=−34.5575184008182x_{27} = -34.5575184008182
x28=−65.9734457645781x_{28} = -65.9734457645781
x29=−3.14159319339173x_{29} = -3.14159319339173
x30=−15.7079632968794x_{30} = -15.7079632968794
x31=15.7079634979884x_{31} = 15.7079634979884
x32=72.2566310277123x_{32} = 72.2566310277123
x33=97.3893729097862x_{33} = 97.3893729097862
x34=72.2566300161296x_{34} = 72.2566300161296
x35=78.5398161512818x_{35} = 78.5398161512818
x36=34.5575189877436x_{36} = 34.5575189877436
x37=−53.4070753407667x_{37} = -53.4070753407667
x38=−40.8407030923754x_{38} = -40.8407030923754
x39=−72.2566308316648x_{39} = -72.2566308316648
x40=40.8407039856137x_{40} = 40.8407039856137
x41=84.8230011630704x_{41} = 84.8230011630704
x42=47.123888519249x_{42} = 47.123888519249
x43=9.42477854101497x_{43} = 9.42477854101497
x44=−97.3893725058208x_{44} = -97.3893725058208
x45=3.14159128436603x_{45} = 3.14159128436603
x46=−91.1061875565645x_{46} = -91.1061875565645
x47=97.3893733340218x_{47} = 97.3893733340218
x48=91.1061857476007x_{48} = 91.1061857476007
x49=28.274333865096x_{49} = 28.274333865096
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(x)^2/(1 - cos(x)).
tan⁡2(0)1−cos⁡(0)\frac{\tan^{2}{\left(0 \right)}}{1 - \cos{\left(0 \right)}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)1−cos⁡(x)−sin⁡(x)tan⁡2(x)(1−cos⁡(x))2=0\frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=πx_{1} = \pi
Signos de extremos en los puntos:
(pi, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=πx_{1} = \pi
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[π,∞)\left[\pi, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,π]\left(-\infty, \pi\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(tan⁡2(x)+1)(3tan⁡2(x)+1)+(cos⁡(x)+2sin⁡2(x)cos⁡(x)−1)tan⁡2(x)cos⁡(x)−1+4(tan⁡2(x)+1)sin⁡(x)tan⁡(x)cos⁡(x)−1cos⁡(x)−1=0- \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\left(\cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) \tan^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} + \frac{4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{\cos{\left(x \right)} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=6.28318530717959x_{2} = 6.28318530717959
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞(tan⁡2(x)1−cos⁡(x))y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞(tan⁡2(x)1−cos⁡(x))y = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(x)^2/(1 - cos(x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡2(x)x(1−cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡2(x)x(1−cos⁡(x)))y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡2(x)1−cos⁡(x)=tan⁡2(x)1−cos⁡(x)\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- Sí
tan⁡2(x)1−cos⁡(x)=−tan⁡2(x)1−cos⁡(x)\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}} = - \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}
- No
es decir, función
es
par
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