Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xsin(lnx*pi)

Gráfico de la función y = xsin(lnx*pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = x*sin(log(x)*pi)
f(x)=xsin⁡(πlog⁡(x))f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} 
f = x*sin(pi*log(x))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xsin⁡(πlog⁡(x))=0x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
x2=ex_{2} = e
Solución numérica
x1=7.38905609893065x_{1} = 7.38905609893065
x2=20.0855369231877x_{2} = 20.0855369231877
x3=54.5981500331442x_{3} = 54.5981500331442
x4=2.71828182845905x_{4} = 2.71828182845905
x5=1x_{5} = 1
x6=403.428793492735x_{6} = 403.428793492735
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sin(log(x)*pi).
0sin⁡(πlog⁡(0))0 \sin{\left(\pi \log{\left(0 \right)} \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sin⁡(πlog⁡(x))+πcos⁡(πlog⁡(x))=0\sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} + \pi \cos{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e2atan⁡(1−1+π2π)πx_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}
x2=e2atan⁡(1+1+π2π)πx_{2} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}
Signos de extremos en los puntos:
        /       _________\         /       _________\                               
        |      /       2 |         |      /       2 |                               
        |1 - \/  1 + pi  |         |1 - \/  1 + pi  |                               
  2*atan|----------------|   2*atan|----------------|                               
        \       pi       /         \       pi       /    /      /       _________\\ 
  ------------------------   ------------------------    |      |      /       2 || 
             pi                         pi               |      |1 - \/  1 + pi  || 
(e                       , e                        *sin|2*atan|----------------||)
                                                         \      \       pi       // 

        /       _________\         /       _________\                               
        |      /       2 |         |      /       2 |                               
        |1 + \/  1 + pi  |         |1 + \/  1 + pi  |                               
  2*atan|----------------|   2*atan|----------------|                               
        \       pi       /         \       pi       /    /      /       _________\\ 
  ------------------------   ------------------------    |      |      /       2 || 
             pi                         pi               |      |1 + \/  1 + pi  || 
(e                       , e                        *sin|2*atan|----------------||)
                                                         \      \       pi       //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e2atan⁡(1−1+π2π)πx_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}
Puntos máximos de la función:
x1=e2atan⁡(1+1+π2π)πx_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}
Decrece en los intervalos
[e2atan⁡(1−1+π2π)π,e2atan⁡(1+1+π2π)π]\left[e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}, e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,e2atan⁡(1−1+π2π)π]∪[e2atan⁡(1+1+π2π)π,∞)\left(-\infty, e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}\right] \cup \left[e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
π(−πsin⁡(πlog⁡(x))+cos⁡(πlog⁡(x)))x=0\frac{\pi \left(- \pi \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−2atan⁡(π−1+π2)πx_{1} = e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi - \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}
x2=e−2atan⁡(π+1+π2)πx_{2} = e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi + \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e−2atan⁡(π+1+π2)π,e−2atan⁡(π−1+π2)π]\left[e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi + \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}, e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi - \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,e−2atan⁡(π+1+π2)π]∪[e−2atan⁡(π−1+π2)π,∞)\left(-\infty, e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi + \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}\right] \cup \left[e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi - \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xsin⁡(πlog⁡(x)))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(xsin⁡(πlog⁡(x)))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sin(log(x)*pi), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞sin⁡(πlog⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩xy = \left\langle -1, 1\right\rangle x
lim⁡x→∞sin⁡(πlog⁡(x))=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−1,1⟩xy = \left\langle -1, 1\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xsin⁡(πlog⁡(x))=−xsin⁡(πlog⁡(−x))x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = - x \sin{\left(\pi \log{\left(- x \right)} \right)}
- No
xsin⁡(πlog⁡(x))=xsin⁡(πlog⁡(−x))x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = x \sin{\left(\pi \log{\left(- x \right)} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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