Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} + \pi \cos{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _________\ / _________\
| / 2 | | / 2 |
|1 - \/ 1 + pi | |1 - \/ 1 + pi |
2*atan|----------------| 2*atan|----------------|
\ pi / \ pi / / / _________\\
------------------------ ------------------------ | | / 2 ||
pi pi | |1 - \/ 1 + pi ||
(e , e *sin|2*atan|----------------||)
\ \ pi //
/ _________\ / _________\
| / 2 | | / 2 |
|1 + \/ 1 + pi | |1 + \/ 1 + pi |
2*atan|----------------| 2*atan|----------------|
\ pi / \ pi / / / _________\\
------------------------ ------------------------ | | / 2 ||
pi pi | |1 + \/ 1 + pi ||
(e , e *sin|2*atan|----------------||)
\ \ pi //
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}, e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}\right] \cup \left[e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}, \infty\right)$$