Sr Examen

Gráfico de la función y = xsin(lnx*pi)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
f(x) = x*sin(log(x)*pi)
$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}$$
f = x*sin(pi*log(x))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = e$$
Solución numérica
$$x_{1} = 7.38905609893065$$
$$x_{2} = 20.0855369231877$$
$$x_{3} = 54.5981500331442$$
$$x_{4} = 2.71828182845905$$
$$x_{5} = 1$$
$$x_{6} = 403.428793492735$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*sin(log(x)*pi).
$$0 \sin{\left(\pi \log{\left(0 \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} + \pi \cos{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
Signos de extremos en los puntos:
        /       _________\         /       _________\                               
        |      /       2 |         |      /       2 |                               
        |1 - \/  1 + pi  |         |1 - \/  1 + pi  |                               
  2*atan|----------------|   2*atan|----------------|                               
        \       pi       /         \       pi       /    /      /       _________\\ 
  ------------------------   ------------------------    |      |      /       2 || 
             pi                         pi               |      |1 - \/  1 + pi  || 
(e                       , e                        *sin|2*atan|----------------||)
                                                         \      \       pi       // 

        /       _________\         /       _________\                               
        |      /       2 |         |      /       2 |                               
        |1 + \/  1 + pi  |         |1 + \/  1 + pi  |                               
  2*atan|----------------|   2*atan|----------------|                               
        \       pi       /         \       pi       /    /      /       _________\\ 
  ------------------------   ------------------------    |      |      /       2 || 
             pi                         pi               |      |1 + \/  1 + pi  || 
(e                       , e                        *sin|2*atan|----------------||)
                                                         \      \       pi       // 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}, e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}\right] \cup \left[e^{\frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + \pi^{2}}}{\pi} \right)}}{\pi}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\pi \left(- \pi \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} + \cos{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi - \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}$$
$$x_{2} = e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi + \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi + \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}, e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi - \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi + \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}\right] \cup \left[e^{- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\pi - \sqrt{1 + \pi^{2}} \right)}}{\pi}}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*sin(log(x)*pi), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to \infty} \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \left\langle -1, 1\right\rangle x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = - x \sin{\left(\pi \log{\left(- x \right)} \right)}$$
- No
$$x \sin{\left(\pi \log{\left(x \right)} \right)} = x \sin{\left(\pi \log{\left(- x \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar