Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(3)*cos(x)-sin(x)

Gráfico de la función y = sqrt(3)*cos(x)-sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___                
f(x) = \/ 3 *cos(x) - sin(x)
f(x)=−sin⁡(x)+3cos⁡(x)f{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} 
f = -sin(x) + sqrt(3)*cos(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−sin⁡(x)+3cos⁡(x)=0- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
Solución numérica
x1=−61.7846555205993x_{1} = -61.7846555205993
x2=−83.7758040957278x_{2} = -83.7758040957278
x3=−8.37758040957278x_{3} = -8.37758040957278
x4=−71.2094334813686x_{4} = -71.2094334813686
x5=−90.0589894029074x_{5} = -90.0589894029074
x6=63.8790506229925x_{6} = 63.8790506229925
x7=−86.9173967493176x_{7} = -86.9173967493176
x8=95.2949771588904x_{8} = 95.2949771588904
x9=−20.943951023932x_{9} = -20.943951023932
x10=73.3038285837618x_{10} = 73.3038285837618
x11=98.4365698124802x_{11} = 98.4365698124802
x12=−39.7935069454707x_{12} = -39.7935069454707
x13=70.162235930172x_{13} = 70.162235930172
x14=−99.4837673636768x_{14} = -99.4837673636768
x15=−17.8023583703422x_{15} = -17.8023583703422
x16=13.6135681655558x_{16} = 13.6135681655558
x17=82.7286065445312x_{17} = 82.7286065445312
x18=−77.4926187885482x_{18} = -77.4926187885482
x19=−80.634211442138x_{19} = -80.634211442138
x20=−42.9350995990605x_{20} = -42.9350995990605
x21=−49.2182849062401x_{21} = -49.2182849062401
x22=−52.3598775598299x_{22} = -52.3598775598299
x23=−14.6607657167524x_{23} = -14.6607657167524
x24=10.471975511966x_{24} = 10.471975511966
x25=32.4631240870945x_{25} = 32.4631240870945
x26=79.5870138909414x_{26} = 79.5870138909414
x27=−55.5014702134197x_{27} = -55.5014702134197
x28=−68.0678408277789x_{28} = -68.0678408277789
x29=51.3126800086333x_{29} = 51.3126800086333
x30=−46.0766922526503x_{30} = -46.0766922526503
x31=7.33038285837618x_{31} = 7.33038285837618
x32=104.71975511966x_{32} = 104.71975511966
x33=67.0206432765823x_{33} = 67.0206432765823
x34=41.8879020478639x_{34} = 41.8879020478639
x35=76.4454212373516x_{35} = 76.4454212373516
x36=−58.6430628670095x_{36} = -58.6430628670095
x37=54.4542726622231x_{37} = 54.4542726622231
x38=38.7463093942741x_{38} = 38.7463093942741
x39=−27.2271363311115x_{39} = -27.2271363311115
x40=−5.23598775598299x_{40} = -5.23598775598299
x41=57.5958653158129x_{41} = 57.5958653158129
x42=85.870199198121x_{42} = 85.870199198121
x43=23.0383461263252x_{43} = 23.0383461263252
x44=60.7374579694027x_{44} = 60.7374579694027
x45=29.3215314335047x_{45} = 29.3215314335047
x46=−11.5191730631626x_{46} = -11.5191730631626
x47=4.18879020478639x_{47} = 4.18879020478639
x48=48.1710873550435x_{48} = 48.1710873550435
x49=35.6047167406843x_{49} = 35.6047167406843
x50=−30.3687289847013x_{50} = -30.3687289847013
x51=−2.0943951023932x_{51} = -2.0943951023932
x52=−93.2005820564972x_{52} = -93.2005820564972
x53=92.1533845053006x_{53} = 92.1533845053006
x54=−24.0855436775217x_{54} = -24.0855436775217
x55=−96.342174710087x_{55} = -96.342174710087
x56=−64.9262481741891x_{56} = -64.9262481741891
x57=16.7551608191456x_{57} = 16.7551608191456
x58=45.0294947014537x_{58} = 45.0294947014537
x59=1.0471975511966x_{59} = 1.0471975511966
x60=26.1799387799149x_{60} = 26.1799387799149
x61=−33.5103216382911x_{61} = -33.5103216382911
x62=89.0117918517108x_{62} = 89.0117918517108
x63=−36.6519142918809x_{63} = -36.6519142918809
x64=19.8967534727354x_{64} = 19.8967534727354
x65=−74.3510261349584x_{65} = -74.3510261349584
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(3)*cos(x) - sin(x).
−sin⁡(0)+3cos⁡(0)- \sin{\left(0 \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = \sqrt{3}
Punto:
(0, sqrt(3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)−cos⁡(x)=0- \sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 2)
  6


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π6]\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right]
Crece en los intervalos
[−π6,∞)\left[- \frac{\pi}{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sin⁡(x)−3cos⁡(x)=0\sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π3,∞)\left[\frac{\pi}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,π3]\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+3cos⁡(x))=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty}\left(- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩+3⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle + \sqrt{3} \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(3)*cos(x) - sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−sin⁡(x)+3cos⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−sin⁡(x)+3cos⁡(x)=sin⁡(x)+3cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
−sin⁡(x)+3cos⁡(x)=−sin⁡(x)−3cos⁡(x)- \sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3} \cos{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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