Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ tg(2x)^(ctg(x/2))

Gráfico de la función y = tg(2x)^(ctg(x/2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                    /x\
                 cot|-|
                    \2/
f(x) = (tan(2*x))
f(x)=tan⁡cot⁡(x2)(2x)f{\left(x \right)} = \tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)} 
f = tan(2*x)^cot(x/2)
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en tan(2*x)^cot(x/2).
tan⁡cot⁡(02)(0⋅2)\tan^{\cot{\left(\frac{0}{2} \right)}}{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
((2tan⁡2(2x)+2)cot⁡(x2)tan⁡(2x)+(−cot⁡2(x2)2−12)log⁡(tan⁡(2x)))tan⁡cot⁡(x2)(2x)=0\left(\frac{\left(2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} + 2\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\tan{\left(2 x \right)}} + \left(- \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2}\right) \log{\left(\tan{\left(2 x \right)} \right)}\right) \tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13.3517687777664x_{1} = -13.3517687777664
x2=88x_{2} = 88
x3=68.3296402155766x_{3} = 68.3296402155766
x4=84.987977703716x_{4} = 84.987977703716
x5=−57.3340659280251x_{5} = -57.3340659280251
x6=66.1384217821772x_{6} = 66.1384217821772
x7=−34.3925431326962x_{7} = -34.3925431326962
x8=22.1561246319201x_{8} = 22.1561246319201
x9=30.6305283724922x_{9} = 30.6305283724922
x10=−84.6580255901329x_{10} = -84.6580255901329
x11=24.3473430653192x_{11} = 24.3473430653192
x12=34.7224952462793x_{12} = 34.7224952462793
x13=−9.25980190397781x_{13} = -9.25980190397781
x14=59.8552364749976x_{14} = 59.8552364749976
x15=3.30656871038136x_{15} = 3.30656871038136
x16=44x_{16} = 44
x17=15.8729393247405x_{17} = 15.8729393247405
x18=−78.3748402829533x_{18} = -78.3748402829533
x19=−19.6349540849381x_{19} = -19.6349540849381
x20=−21.826172518337x_{20} = -21.826172518337
x21=−65.8084696685941x_{21} = -65.8084696685941
x22=−53.2420990542349x_{22} = -53.2420990542349
x23=74.6128255227505x_{23} = 74.6128255227505
x24=94.25x_{24} = 94.25
x25=−28.1093578255166x_{25} = -28.1093578255166
x26=−97.224396204492x_{26} = -97.224396204492
x27=−63.6172512351954x_{27} = -63.6172512351954
x28=97.5543483180752x_{28} = 97.5543483180752
x29=9.58975401756095x_{29} = 9.58975401756095
x30=78.7047923965364x_{30} = 78.7047923965364
x31=−72.0916549757737x_{31} = -72.0916549757737
x32=41.0056805534589x_{32} = 41.0056805534589
x33=91.2711630108956x_{33} = 91.2711630108956
Signos de extremos en los puntos:
(-13.351768777766381, 1.39603369953625e-26)

(88, 1.23699807188943e-65)

(68.32964021557656, 1.38119639835943e-28)

(84.98797770371598, 1.09263531182907)

(-57.33406592802512, 2.02798575047659e-26)

(66.13842178217723, 1.09263531182907)

(-34.392543132696154, 1.09263531182907)

(22.15612463192012, 1.09263531182907)

(30.630528372492172, 9.47410787394105e-27)

(-84.65802559013285, 1.09263531182907)

(24.347343065319205, 2.0331559982005e-28)

(34.722495246279294, 1.09263531182907)

(-9.259801903977811, 1.09263531182907)

(59.85523647499764, 1.09263531182907)

(3.3065687103813612, 1.09263531182907)

(44, 1.27246687910515e-164)

(15.872939324740534, 1.09263531182907)

(-78.37484028295326, 1.09263531182907)

(-19.634954084938123, 2.73793446490225e-28)

(-21.826172518336985, 1.09263531182907)

(-65.80846966859409, 1.09263531182907)

(-53.24209905423492, 1.09263531182907)

(74.61282552275046, 6.55133765320612e-27)

(94.25, 9.38077002596721e-2120)

(-28.10935782551657, 1.09263531182907)

(-97.22439620449202, 1.09263531182907)

(-63.61725123519544, 3.52560915332702e-28)

(97.55434831807516, 1.09263531182907)

(9.589754017560947, 1.09263531182907)

(78.7047923965364, 1.09263531182907)

(-72.09165497577368, 1.09263531182907)

(41.00568055345888, 1.09263531182907)

(91.27116301089558, 1.09263531182907)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−13.3517687777664x_{1} = -13.3517687777664
x2=68.3296402155766x_{2} = 68.3296402155766
x3=−57.3340659280251x_{3} = -57.3340659280251
x4=30.6305283724922x_{4} = 30.6305283724922
x5=24.3473430653192x_{5} = 24.3473430653192
x6=−19.6349540849381x_{6} = -19.6349540849381
x7=74.6128255227505x_{7} = 74.6128255227505
x8=−63.6172512351954x_{8} = -63.6172512351954
Puntos máximos de la función:
x8=84.987977703716x_{8} = 84.987977703716
x8=66.1384217821772x_{8} = 66.1384217821772
x8=−34.3925431326962x_{8} = -34.3925431326962
x8=22.1561246319201x_{8} = 22.1561246319201
x8=−84.6580255901329x_{8} = -84.6580255901329
x8=34.7224952462793x_{8} = 34.7224952462793
x8=−9.25980190397781x_{8} = -9.25980190397781
x8=59.8552364749976x_{8} = 59.8552364749976
x8=3.30656871038136x_{8} = 3.30656871038136
x8=15.8729393247405x_{8} = 15.8729393247405
x8=−78.3748402829533x_{8} = -78.3748402829533
x8=−21.826172518337x_{8} = -21.826172518337
x8=−65.8084696685941x_{8} = -65.8084696685941
x8=−53.2420990542349x_{8} = -53.2420990542349
x8=−28.1093578255166x_{8} = -28.1093578255166
x8=−97.224396204492x_{8} = -97.224396204492
x8=97.5543483180752x_{8} = 97.5543483180752
x8=9.58975401756095x_{8} = 9.58975401756095
x8=78.7047923965364x_{8} = 78.7047923965364
x8=−72.0916549757737x_{8} = -72.0916549757737
x8=41.0056805534589x_{8} = 41.0056805534589
x8=91.2711630108956x_{8} = 91.2711630108956
Decrece en los intervalos
[74.6128255227505,∞)\left[74.6128255227505, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−63.6172512351954]\left(-\infty, -63.6172512351954\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡x→−∞tan⁡cot⁡(x2)(2x)y = \lim_{x \to -\infty} \tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)}
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=lim⁡x→∞tan⁡cot⁡(x2)(2x)y = \lim_{x \to \infty} \tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función tan(2*x)^cot(x/2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xlim⁡x→−∞(tan⁡cot⁡(x2)(2x)x)y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)}}{x}\right)
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xlim⁡x→∞(tan⁡cot⁡(x2)(2x)x)y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)}}{x}\right)
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
tan⁡cot⁡(x2)(2x)=(−tan⁡(2x))−cot⁡(x2)\tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)} = \left(- \tan{\left(2 x \right)}\right)^{- \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}
- No
tan⁡cot⁡(x2)(2x)=−(−tan⁡(2x))−cot⁡(x2)\tan^{\cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(2 x \right)} = - \left(- \tan{\left(2 x \right)}\right)^{- \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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