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Trazado el gráfico de la función/ -exp(x)-exp(-2*x)-3*cos(x)/5+sin(x)/5

Gráfico de la función y = -exp(x)-exp(-2*x)-3*cos(x)/5+sin(x)/5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x    -2*x   3*cos(x)   sin(x)
f(x) = - e  - e     - -------- + ------
                         5         5
f(x)=((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5f{\left(x \right)} = \left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} 
f = -exp(x) - exp(-2*x) - 3*cos(x)/5 + sin(x)/5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500000000500000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5=0\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -exp(x) - exp(-2*x) - 3*cos(x)/5 + sin(x)/5.
((−e0−e−0)−3cos⁡(0)5)+sin⁡(0)5\left(\left(- e^{0} - e^{- 0}\right) - \frac{3 \cos{\left(0 \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(0 \right)}}{5}
Resultado:
f(0)=−135f{\left(0 \right)} = - \frac{13}{5}
Punto:
(0, -13/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−ex+3sin⁡(x)5+cos⁡(x)5+2e−2x=0- e^{x} + \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{5} + 2 e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0.338953377751956x_{1} = 0.338953377751956
Signos de extremos en los puntos:
(0.3389533777519558, -2.41051835681807)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0.338953377751956x_{1} = 0.338953377751956
Decrece en los intervalos
(−∞,0.338953377751956]\left(-\infty, 0.338953377751956\right]
Crece en los intervalos
[0.338953377751956,∞)\left[0.338953377751956, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−ex−sin⁡(x)5+3cos⁡(x)5−4e−2x=0- e^{x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5} - 4 e^{- 2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp(x) - exp(-2*x) - 3*cos(x)/5 + sin(x)/5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5=−e2x−sin⁡(x)5−3cos⁡(x)5−e−x\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} = - e^{2 x} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5} - e^{- x}
- No
((−ex−e−2x)−3cos⁡(x)5)+sin⁡(x)5=e2x+sin⁡(x)5+3cos⁡(x)5+e−x\left(\left(- e^{x} - e^{- 2 x}\right) - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}\right) + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} = e^{2 x} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{5} + \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5} + e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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