Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ y=2-3*sin(x-pi/3)

Gráfico de la función y = y=2-3*sin(x-pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                /    pi\
f(x) = 2 - 3*sin|x - --|
                \    3 /
f(x)=2−3sin⁡(x−π3)f{\left(x \right)} = 2 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} 
f = 2 - 3*sin(x - pi/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-510
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2−3sin⁡(x−π3)=02 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π6+acos⁡(−23)x_{1} = - \frac{\pi}{6} + \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)}
x2=−acos⁡(−23)+11π6x_{2} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{2}{3} \right)} + \frac{11 \pi}{6}
Solución numérica
x1=3.45906254855942x_{1} = 3.45906254855942
x2=−65.655975830416x_{2} = -65.655975830416
x3=89.7415195079378x_{3} = 89.7415195079378
x4=70.891963586399x_{4} = 70.891963586399
x5=−23.3558160212948x_{5} = -23.3558160212948
x6=14.3432958217827x_{6} = 14.3432958217827
x7=33.1928517433215x_{7} = 33.1928517433215
x8=2045.49428738193x_{8} = 2045.49428738193
x9=16.0254331629186x_{9} = 16.0254331629186
x10=64.6087782792194x_{10} = 64.6087782792194
x11=−84.5055317519548x_{11} = -84.5055317519548
x12=−21.6736786801589x_{12} = -21.6736786801589
x13=34.8749890844574x_{13} = 34.8749890844574
x14=39.4760370505011x_{14} = 39.4760370505011
x15=−48.4885572500131x_{15} = -48.4885572500131
x16=58.3255929720398x_{16} = 58.3255929720398
x17=22.3086184700982x_{17} = 22.3086184700982
x18=45.7592223576807x_{18} = 45.7592223576807
x19=60.0077303131757x_{19} = 60.0077303131757
x20=−59.3727905232364x_{20} = -59.3727905232364
x21=−54.7717425571927x_{21} = -54.7717425571927
x22=−27.9568639873385x_{22} = -27.9568639873385
x23=20.6264811289623x_{23} = 20.6264811289623
x24=−15.3904933729793x_{24} = -15.3904933729793
x25=−90.7887170591344x_{25} = -90.7887170591344
x26=−2.82412275862016x_{26} = -2.82412275862016
x27=1.77692520742356x_{27} = 1.77692520742356
x28=−53.0896052160569x_{28} = -53.0896052160569
x29=77.1751488935786x_{29} = 77.1751488935786
x30=−35.922186635654x_{30} = -35.922186635654
x31=1132.75028049975x_{31} = 1132.75028049975
x32=−73.6212984787315x_{32} = -73.6212984787315
x33=72.5741009275349x_{33} = 72.5741009275349
x34=83.4583342007582x_{34} = 83.4583342007582
x35=−42.2053719428335x_{35} = -42.2053719428335
x36=96.0247048151174x_{36} = 96.0247048151174
x37=−71.9391611375956x_{37} = -71.9391611375956
x38=−98.7540397074498x_{38} = -98.7540397074498
x39=−78.2223464447752x_{39} = -78.2223464447752
x40=28.5918037772778x_{40} = 28.5918037772778
x41=78.8572862347145x_{41} = 78.8572862347145
x42=41.1581743916369x_{42} = 41.1581743916369
x43=−79.9044837859111x_{43} = -79.9044837859111
x44=26.9096664361419x_{44} = 26.9096664361419
x45=−92.4708544002702x_{45} = -92.4708544002702
x46=165.139743194093x_{46} = 165.139743194093
x47=−29.6390013284744x_{47} = -29.6390013284744
x48=−46.8064199088773x_{48} = -46.8064199088773
x49=97.7068421562532x_{49} = 97.7068421562532
x50=53.7245450059961x_{50} = 53.7245450059961
x51=−67.3381131715519x_{51} = -67.3381131715519
x52=66.2909156203553x_{52} = 66.2909156203553
x53=2007.79517553885x_{53} = 2007.79517553885
x54=−4.50626009975602x_{54} = -4.50626009975602
x55=121.157446043836x_{55} = 121.157446043836
x56=−86.1876690930906x_{56} = -86.1876690930906
x57=−61.0549278643723x_{57} = -61.0549278643723
x58=−9.10730806579975x_{58} = -9.10730806579975
x59=−268.400043001299x_{59} = -268.400043001299
x60=−40.5232346016977x_{60} = -40.5232346016977
x61=9.74224785573901x_{61} = 9.74224785573901
x62=47.4413596988165x_{62} = 47.4413596988165
x63=8.06011051460315x_{63} = 8.06011051460315
x64=85.140471541894x_{64} = 85.140471541894
x65=−34.2400492945181x_{65} = -34.2400492945181
x66=52.0424076648603x_{66} = 52.0424076648603
x67=−10.7894454069356x_{67} = -10.7894454069356
x68=91.4236568490736x_{68} = 91.4236568490736
x69=−97.071902366314x_{69} = -97.071902366314
x70=−17.0726307141152x_{70} = -17.0726307141152
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2 - 3*sin(x - pi/3).
2−3sin⁡(−π3)2 - 3 \sin{\left(- \frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=2+332f{\left(0 \right)} = 2 + \frac{3 \sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, 2 + 3*sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3cos⁡(x−π3)=0- 3 \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
x2=5π6x_{2} = \frac{5 \pi}{6}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi            /pi   pi\ 
(----, 2 + 3*sin|-- + --|)
  6             \6    3 / 

 5*pi           /pi   pi\ 
(----, 2 - 3*cos|-- - --|)
  6             \3    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5π6x_{1} = \frac{5 \pi}{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−π6x_{1} = - \frac{\pi}{6}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π6]∪[5π6,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{5 \pi}{6}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π6,5π6]\left[- \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3cos⁡(x+π6)=0- 3 \cos{\left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π3x_{1} = \frac{\pi}{3}
x2=4π3x_{2} = \frac{4 \pi}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π3]∪[4π3,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2−3sin⁡(x−π3))=⟨−1,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(2 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(2−3sin⁡(x−π3))=⟨−1,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(2 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}\right) = \left\langle -1, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,5⟩y = \left\langle -1, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2 - 3*sin(x - pi/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2−3sin⁡(x−π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2−3sin⁡(x−π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2−3sin⁡(x−π3)=3sin⁡(x+π3)+22 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = 3 \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} + 2
- No
2−3sin⁡(x−π3)=−3sin⁡(x+π3)−22 - 3 \sin{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} = - 3 \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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