Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (-1+t)*exp(t)+(-cos(t)-sin(t))*exp(-t)

Gráfico de la función y = (-1+t)*exp(t)+(-cos(t)-sin(t))*exp(-t)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 t                       -t
f(t) = (-1 + t)*e  + (-cos(t) - sin(t))*e
f(t)=(t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−tf{\left(t \right)} = \left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} 
f = (t - 1)*exp(t) + (-sin(t) - cos(t))*exp(-t)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010400000-200000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t=0\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:

Solución numérica
t1=−19.6349540849362t_{1} = -19.6349540849362
t2=−7.06858760662281t_{2} = -7.06858760662281
t3=−29.0597320457056t_{3} = -29.0597320457056
t4=−3.92563505303198t_{4} = -3.92563505303198
t5=−13.3517687777823t_{5} = -13.3517687777823
t6=1.13671249854435t_{6} = 1.13671249854435
t7=−22.776546738526t_{7} = -22.776546738526
t8=−25.9181393921158t_{8} = -25.9181393921158
t9=−10.2101761134356t_{9} = -10.2101761134356
t10=−0.983008427610066t_{10} = -0.983008427610066
t11=−16.4933614313464t_{11} = -16.4933614313464
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando t es igual a 0:
sustituimos t = 0 en (-1 + t)*exp(t) + (-cos(t) - sin(t))*exp(-t).
−e0+(−cos⁡(0)−sin⁡(0))e−0- e^{0} + \left(- \cos{\left(0 \right)} - \sin{\left(0 \right)}\right) e^{- 0}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddtf(t)=0\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddtf(t)=\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} =
primera derivada
(t−1)et−(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t+(sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t+et=0\left(t - 1\right) e^{t} - \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} + \left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} + e^{t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−9.4247779914584t_{1} = -9.4247779914584
t2=−21.9911485751286t_{2} = -21.9911485751286
t3=−69.1150383789755t_{3} = -69.1150383789755
t4=−3.14451166439687t_{4} = -3.14451166439687
t5=−25.1327412287183t_{5} = -25.1327412287183
t6=0t_{6} = 0
t7=−15.7079632679491t_{7} = -15.7079632679491
t8=−12.5663706142828t_{8} = -12.5663706142828
t9=−28.2743338823081t_{9} = -28.2743338823081
t10=−18.8495559215388t_{10} = -18.8495559215388
t11=−34.5575191894877t_{11} = -34.5575191894877
t12=−31.4159265358979t_{12} = -31.4159265358979
t13=−6.2831743511495t_{13} = -6.2831743511495
Signos de extremos en los puntos:
(-9.424777991458397, 12391.6469666422)

(-21.991148575128552, 3553321280.84704)

(-69.11503837897546, -1.03819703567651e+30)

(-3.144511664396872, 22.9619165216176)

(-25.132741228718345, -82226315585.595)

(0, -2)

(-15.707963267949145, 6635623.99933862)

(-12.566370614282759, -286751.313183964)

(-28.274333882308138, 1902773895292.16)

(-18.84955592153876, -153552935.395447)

(-34.55751918948773, 1.0189195432793e+15)

(-31.41592653589793, -44031505860632)

(-6.283174351149497, -535.505256520506)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
t1=−69.1150383789755t_{1} = -69.1150383789755
t2=−25.1327412287183t_{2} = -25.1327412287183
t3=0t_{3} = 0
t4=−12.5663706142828t_{4} = -12.5663706142828
t5=−18.8495559215388t_{5} = -18.8495559215388
t6=−31.4159265358979t_{6} = -31.4159265358979
t7=−6.2831743511495t_{7} = -6.2831743511495
Puntos máximos de la función:
t7=−9.4247779914584t_{7} = -9.4247779914584
t7=−21.9911485751286t_{7} = -21.9911485751286
t7=−3.14451166439687t_{7} = -3.14451166439687
t7=−15.7079632679491t_{7} = -15.7079632679491
t7=−28.2743338823081t_{7} = -28.2743338823081
t7=−34.5575191894877t_{7} = -34.5575191894877
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−69.1150383789755]\left(-\infty, -69.1150383789755\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dt2f(t)=0\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dt2f(t)=\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} =
segunda derivada
(t−1)et−2(sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t+2et=0\left(t - 1\right) e^{t} - 2 \left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} + 2 e^{t} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
t1=−14.922565104551t_{1} = -14.922565104551
t2=−8.63937971275774t_{2} = -8.63937971275774
t3=−5.49781381949736t_{3} = -5.49781381949736
t4=−2.35186350676006t_{4} = -2.35186350676006
t5=−24.3473430653209t_{5} = -24.3473430653209
t6=−11.7809724511847t_{6} = -11.7809724511847
t7=−21.2057504117311t_{7} = -21.2057504117311
t8=−27.4889357189107t_{8} = -27.4889357189107
t9=−30.6305283725005t_{9} = -30.6305283725005
t10=−18.0641577581413t_{10} = -18.0641577581413

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2.35186350676006,∞)\left[-2.35186350676006, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−27.4889357189107]\left(-\infty, -27.4889357189107\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=lim⁡t→−∞((t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t)y = \lim_{t \to -\infty}\left(\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}\right)
lim⁡t→∞((t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t)=∞\lim_{t \to \infty}\left(\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-1 + t)*exp(t) + (-cos(t) - sin(t))*exp(-t), dividida por t con t->+oo y t ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=tlim⁡t→−∞((t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−tt)y = t \lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{t}\right)
lim⁡t→∞((t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−tt)=∞\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t}}{t}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
(t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t=(−t−1)e−t+(sin⁡(t)−cos⁡(t))et\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} = \left(- t - 1\right) e^{- t} + \left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{t}
- No
(t−1)et+(−sin⁡(t)−cos⁡(t))e−t=−(−t−1)e−t−(sin⁡(t)−cos⁡(t))et\left(t - 1\right) e^{t} + \left(- \sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{- t} = - \left(- t - 1\right) e^{- t} - \left(\sin{\left(t \right)} - \cos{\left(t \right)}\right) e^{t}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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