Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=3x^3-x
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- (uno -cos(x/ dos)-sin(x/ dos))*exp(x)
- (1 menos coseno de (x dividir por 2) menos seno de (x dividir por 2)) multiplicar por exponente de (x)
- (uno menos coseno de (x dividir por dos) menos seno de (x dividir por dos)) multiplicar por exponente de (x)
- (1-cos(x/2)-sin(x/2))exp(x)
- 1-cosx/2-sinx/2expx
- (1-cos(x dividir por 2)-sin(x dividir por 2))*exp(x)
-
Expresiones semejantes
- (1-cos(x/2)+sin(x/2))*exp(x)
- (1+cos(x/2)-sin(x/2))*exp(x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)*((2*x^3-5)^3)^4
- cos(x-1)-2
- cos(x+0,5)
- cos(x)-sin(2)*5*x+e/x
- cos(|x|)/cos(x)
- Seno sin
- sin(5+6*x)^(2)+3^tan(x)
- sin(x)+arcsin(x)
- sin(2*x^3)^2/(x^3)
- sin(x)*sin(1.5*pi+x)-6*x
- sin(x)+sin(10/3*x)+log(x)-(0,84*x+3)
- Exponente exp
- exp(x^3)*sqrt(x^2)-x-1
- exp(-x)/(2*x+3)^4
- exp(x)+exp(x*(-3+sqrt(21))/2)+exp(x*(-3-sqrt(21))/2)
- exp(4*x)/(1+exp(x*(4+x^3)))
- exp(10*x)/9
Gráfico de la función y = (1-cos(x/2)-sin(x/2))*exp(x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /x\ /x\\ x
f(x) = |1 - cos|-| - sin|-||*e
\ \2/ \2//
$$f{\left(x \right)} = \left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}$$
f = (1 - cos(x/2) - sin(x/2))*exp(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = -72.2566310325652$$
$$x_{3} = -47.1238898038469$$
$$x_{4} = -287.234599451098$$
$$x_{5} = 15.707963267949$$
$$x_{6} = -50.2654824574367$$
$$x_{7} = 28.2743338823081$$
$$x_{8} = -62.8318530717959$$
$$x_{9} = -59.6902604182061$$
$$x_{10} = 3.14159265358979$$
$$x_{11} = -25.1327412287183$$
$$x_{12} = -75.398223686155$$
$$x_{13} = -84.8230016469244$$
$$x_{14} = 25.1327412287183$$
$$x_{15} = -87.9645943005142$$
$$x_{16} = -9.42477796076938$$
$$x_{17} = -296.433310902648$$
$$x_{18} = 12.5663706143592$$
$$x_{19} = -34.5575191894877$$
$$x_{20} = -21.9911485751286$$
$$x_{21} = 0$$
$$x_{22} = -37.6991118430775$$
$$x_{23} = -12.5663706143592$$
$$x_{24} = -100.530964914873$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = -97.3893722612836$$
$$x_{2} = -72.2566310325652$$
$$x_{3} = -47.1238898038469$$
$$x_{4} = -287.234599451098$$
$$x_{5} = 15.707963267949$$
$$x_{6} = -50.2654824574367$$
$$x_{7} = 28.2743338823081$$
$$x_{8} = -62.8318530717959$$
$$x_{9} = -59.6902604182061$$
$$x_{10} = 3.14159265358979$$
$$x_{11} = -25.1327412287183$$
$$x_{12} = -75.398223686155$$
$$x_{13} = -84.8230016469244$$
$$x_{14} = 25.1327412287183$$
$$x_{15} = -87.9645943005142$$
$$x_{16} = -9.42477796076938$$
$$x_{17} = -296.433310902648$$
$$x_{18} = 12.5663706143592$$
$$x_{19} = -34.5575191894877$$
$$x_{20} = -21.9911485751286$$
$$x_{21} = 0$$
$$x_{22} = -37.6991118430775$$
$$x_{23} = -12.5663706143592$$
$$x_{24} = -100.530964914873$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} + \left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}\right] \cup \left[4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}, 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} + \left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
$$x_{2} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ___\
|1 \/ 6 |
/ ___\ / / / ___\\ / / ___\\\ 4*atan|- - -----|
|1 \/ 6 | | | |1 \/ 6 || | |1 \/ 6 ||| \5 5 /
(4*atan|- - -----|, |1 - cos|2*atan|- - -----|| - sin|2*atan|- - -----|||*e )
\5 5 / \ \ \5 5 // \ \5 5 /// / ___\
|1 \/ 6 |
/ ___\ / / / ___\\ / / ___\\\ 4*atan|- + -----|
|1 \/ 6 | | | |1 \/ 6 || | |1 \/ 6 ||| \5 5 /
(4*atan|- + -----|, |1 - cos|2*atan|- + -----|| - sin|2*atan|- + -----|||*e )
\5 5 / \ \ \5 5 // \ \5 5 /// Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}\right] \cup \left[4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}, 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{6}}{5} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + 1\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} - \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} + \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} + \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}\right] \cup \left[- 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} - \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} + \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}, - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} - \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} - \frac{7 \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} + 1\right) e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} - \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} + \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} + \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}\right] \cup \left[- 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} - \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} + \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}, - 4 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{11} - \frac{\sqrt{34}}{11} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 - cos(x/2) - sin(x/2))*exp(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} = \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}$$
- No
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} = - \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} = \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}$$
- No
$$\left(\left(1 - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) - \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) e^{x} = - \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) e^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar