Sr Examen

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Gráfico de la función y = 2+cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              /    ___\      /    ___\
f(x) = 2 + cos\x*\/ 3 / + sin\x*\/ 3 /
$$f{\left(x \right)} = \left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}$$
f = cos(sqrt(3)*x) + 2 + sin(sqrt(3)*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2 + cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)).
$$\sin{\left(0 \sqrt{3} \right)} + \left(\cos{\left(0 \sqrt{3} \right)} + 2\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 3$$
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \sqrt{3} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$$
Signos de extremos en los puntos:
      ___            
 pi*\/ 3         ___ 
(--------, 2 + \/ 2 )
    12               


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\sqrt{3} \pi}{12}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\sqrt{3} \pi}{12}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 3 \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3} \pi}{12}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2 + cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} = - \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2$$
- No
$$\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} = \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)} - 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar