Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2+cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3))

Gráfico de la función y = 2+cos(x*sqrt(3))+sin(x*sqrt(3))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              /    ___\      /    ___\
f(x) = 2 + cos\x*\/ 3 / + sin\x*\/ 3 /
f(x)=(cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x)f{\left(x \right)} = \left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} 
f = cos(sqrt(3)*x) + 2 + sin(sqrt(3)*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101005
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x)=0\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2 + cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)).
sin⁡(03)+(cos⁡(03)+2)\sin{\left(0 \sqrt{3} \right)} + \left(\cos{\left(0 \sqrt{3} \right)} + 2\right)
Resultado:
f(0)=3f{\left(0 \right)} = 3
Punto:
(0, 3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(3x)+3cos⁡(3x)=0- \sqrt{3} \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(\sqrt{3} x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3π12x_{1} = \frac{\sqrt{3} \pi}{12}
Signos de extremos en los puntos:
      ___            
 pi*\/ 3         ___ 
(--------, 2 + \/ 2 )
    12


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=3π12x_{1} = \frac{\sqrt{3} \pi}{12}
Decrece en los intervalos
(−∞,3π12]\left(-\infty, \frac{\sqrt{3} \pi}{12}\right]
Crece en los intervalos
[3π12,∞)\left[\frac{\sqrt{3} \pi}{12}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3(sin⁡(3x)+cos⁡(3x))=0- 3 \left(\sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3π12x_{1} = - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−3π12]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} \pi}{12}\right]
Convexa en los intervalos
[−3π12,∞)\left[- \frac{\sqrt{3} \pi}{12}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x))=⟨0,4⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,4⟩y = \left\langle 0, 4\right\rangle
lim⁡x→∞((cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x))=⟨0,4⟩\lim_{x \to \infty}\left(\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,4⟩y = \left\langle 0, 4\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2 + cos(x*sqrt(3)) + sin(x*sqrt(3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x)=−sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+2\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} = - \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} + \cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2
- No
(cos⁡(3x)+2)+sin⁡(3x)=sin⁡(3x)−cos⁡(3x)−2\left(\cos{\left(\sqrt{3} x \right)} + 2\right) + \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} = \sin{\left(\sqrt{3} x \right)} - \cos{\left(\sqrt{3} x \right)} - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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