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Trazado el gráfico de la función/ (sqrt((1+(sin(2*x))^2+sin(x)^4)/(cos(x)^2)))*sin(x)^2

Gráfico de la función y = (sqrt((1+(sin(2*x))^2+sin(x)^4)/(cos(x)^2)))*sin(x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             _________________________        
            /        2           4            
           /  1 + sin (2*x) + sin (x)     2   
f(x) =    /   ----------------------- *sin (x)
         /               2                    
       \/             cos (x)
f(x)=(sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)} 
f = sqrt((sin(2*x)^2 + 1 + sin(x)^4)/cos(x)^2)*sin(x)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt((1 + sin(2*x)^2 + sin(x)^4)/cos(x)^2)*sin(x)^2.
sin⁡4(0)+(sin⁡2(0⋅2)+1)cos⁡2(0)sin⁡2(0)\sqrt{\frac{\sin^{4}{\left(0 \right)} + \left(\sin^{2}{\left(0 \cdot 2 \right)} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(0 \right)}}} \sin^{2}{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1.5707963267949x_{1} = 1.5707963267949
x2=4.71238898038469x_{2} = 4.71238898038469
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x))=⟨0,3⟩∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{\left\langle 0, \sqrt{3}\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨0,3⟩∣⟨−1,1⟩∣y = \frac{\left\langle 0, \sqrt{3}\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}
lim⁡x→∞((sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x))=⟨0,3⟩∣⟨−1,1⟩∣\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}\right) = \frac{\left\langle 0, \sqrt{3}\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨0,3⟩∣⟨−1,1⟩∣y = \frac{\left\langle 0, \sqrt{3}\right\rangle}{\left|{\left\langle -1, 1\right\rangle}\right|}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt((1 + sin(2*x)^2 + sin(x)^4)/cos(x)^2)*sin(x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)∣cos⁡(x)∣sin⁡2(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)∣cos⁡(x)∣sin⁡2(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{\sqrt{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}}{\left|{\cos{\left(x \right)}}\right|} \sin^{2}{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)=(sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)\sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)} = \sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}
- Sí
(sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)=−(sin⁡2(2x)+1)+sin⁡4(x)cos⁡2(x)sin⁡2(x)\sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)} = - \sqrt{\frac{\left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) + \sin^{4}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}} \sin^{2}{\left(x \right)}
- No
es decir, función
es
par
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