Sr Examen

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Gráfico de la función y = log(tan(sin(3*x))^(2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /   2          \
f(x) = log\tan (sin(3*x))/
$$f{\left(x \right)} = \log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)}$$
f = log(tan(sin(3*x))^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{4} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{4} \right)}}{3} + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{4} \right)}}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{4} \right)}}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -8.67869344649495$$
$$x_{2} = -97.6904852982058$$
$$x_{3} = 98.135456775558$$
$$x_{4} = -47.8699743181213$$
$$x_{5} = -43.6811841133349$$
$$x_{6} = 25.8788257429928$$
$$x_{7} = -43.2362126359827$$
$$x_{8} = -40.0946199823929$$
$$x_{9} = -5.98207227025742$$
$$x_{10} = -62.0857685575214$$
$$x_{11} = 12.265257577437$$
$$x_{12} = 62.0857685575214$$
$$x_{13} = -25.8788257429928$$
$$x_{14} = -74.0499130980363$$
$$x_{15} = 88.2657073374364$$
$$x_{16} = 56.2475547276941$$
$$x_{17} = 3.88767716786422$$
$$x_{18} = 27.973220845386$$
$$x_{19} = -35.9058297776065$$
$$x_{20} = -11.8202861000847$$
$$x_{21} = 42.1890150847861$$
$$x_{22} = -49.9643694205145$$
$$x_{23} = -96.0410616731648$$
$$x_{24} = 86.1713122350432$$
$$x_{25} = 40.0946199823929$$
$$x_{26} = 33.209208601369$$
$$x_{27} = -27.973220845386$$
$$x_{28} = -77.7937318254704$$
$$x_{29} = 84.07691713265$$
$$x_{30} = -53.7081881479487$$
$$x_{31} = -19.1506689584609$$
$$x_{32} = -21.6900355382064$$
$$x_{33} = 96.0410616731648$$
$$x_{34} = -84.07691713265$$
$$x_{35} = -91.8522714683784$$
$$x_{36} = -18.1034714072643$$
$$x_{37} = -99.784880400599$$
$$x_{38} = -3.88767716786422$$
$$x_{39} = 46.3778052895725$$
$$x_{40} = -13.9146812024779$$
$$x_{41} = -59.9913734551282$$
$$x_{42} = -69.8611228932499$$
$$x_{43} = -23.7844306405996$$
$$x_{44} = 24.3866567144439$$
$$x_{45} = -67.7667277908567$$
$$x_{46} = -65.6723326884635$$
$$x_{47} = -1.79328206547102$$
$$x_{48} = 90.3601024398296$$
$$x_{49} = -16.0090763048711$$
$$x_{50} = 16.0090763048711$$
$$x_{51} = -45.7755792157281$$
$$x_{52} = -89.7578763659852$$
$$x_{53} = 59.9913734551282$$
$$x_{54} = -55.8025832503419$$
$$x_{55} = 5.98207227025742$$
$$x_{56} = 34.2564061525656$$
$$x_{57} = 81.9825220302568$$
$$x_{58} = 91.8522714683784$$
$$x_{59} = -30.0676159477792$$
$$x_{60} = 10.1708624750438$$
$$x_{61} = 64.1801636599146$$
$$x_{62} = 54.1531596253009$$
$$x_{63} = 61.0385710063248$$
$$x_{64} = 20.1978665096575$$
$$x_{65} = -87.663481263592$$
$$x_{66} = 32.1620110501724$$
$$x_{67} = -81.9825220302568$$
$$x_{68} = 52.0587645229077$$
$$x_{69} = 74.0499130980363$$
$$x_{70} = -52.0587645229077$$
$$x_{71} = 47.8699743181213$$
$$x_{72} = 66.2745587623078$$
$$x_{73} = 100.229851877951$$
$$x_{74} = 2.39550813931537$$
$$x_{75} = 8.07646737265061$$
$$x_{76} = 30.0676159477792$$
$$x_{77} = -93.9466665707716$$
$$x_{78} = -31.7170395728201$$
$$x_{79} = 38.0002248799997$$
$$x_{80} = -71.9555179956431$$
$$x_{81} = -9.72589099769155$$
$$x_{82} = 76.1443082004295$$
$$x_{83} = -100.229851877951$$
$$x_{84} = -75.6993367230772$$
$$x_{85} = 18.1034714072643$$
$$x_{86} = -38.0002248799997$$
$$x_{87} = 71.9555179956431$$
$$x_{88} = 69.8611228932499$$
$$x_{89} = 93.9466665707716$$
$$x_{90} = 22.2922616120507$$
$$x_{91} = 78.2387033028227$$
$$x_{92} = -57.896978352735$$
$$x_{93} = 44.2834101871793$$
$$x_{94} = -33.8114346752133$$
$$x_{95} = 49.9643694205145$$
$$x_{96} = 68.368953864701$$
$$x_{97} = -79.8881269278636$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(tan(sin(3*x))^2).
$$\log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(0 \cdot 3 \right)} \right)} \right)}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} + 1\right) \cos{\left(3 x \right)}}{\tan{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      /   2   \ 
(----, log\tan (1)/)
  6                 

 pi     /   2   \ 
(--, log\tan (1)/)
 6                


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{6}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{6}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$18 \left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} + 1\right) \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}} - \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\tan{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)}} + 2 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, \tan^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \log{\left(\left\langle 0, \tan^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle \right)}$$
$$\lim_{x \to \infty} \log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)} = \log{\left(\left\langle 0, \tan^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle \right)}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \log{\left(\left\langle 0, \tan^{2}{\left(1 \right)}\right\rangle \right)}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(tan(sin(3*x))^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)} = \log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)}$$
- Sí
$$\log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)} = - \log{\left(\tan^{2}{\left(\sin{\left(3 x \right)} \right)} \right)}$$
- No
es decir, función
es
par