sin(x)+sqrt(3)*cos(x)>sqrt(2) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} > \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} = \sqrt{2}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(x \right)} > \sqrt{2}$$
$$\sin{\left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} + \sqrt{3} \cos{\left(2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > \sqrt{2}$$

         /             /        ___  \\      /             /        ___  \\        
  ___    |  1          |  1 - \/ 2   ||      |  1          |  1 - \/ 2   ||     ___
\/ 3 *cos|- -- + 2*atan|-------------|| + sin|- -- + 2*atan|-------------|| > \/ 2 
         |  10         |  ___     ___||      |  10         |  ___     ___||   
         \             \\/ 2  + \/ 3 //      \             \\/ 2  + \/ 3 //        

Entonces
$$x < 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \right)}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2