log5x+log(5)(x+1)>log5*2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 1\right) \log{\left(5 \right)} + \log{\left(5 x \right)} > 2 \log{\left(5 \right)}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 1\right) \log{\left(5 \right)} + \log{\left(5 x \right)} = 2 \log{\left(5 \right)}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 1\right) \log{\left(5 \right)} + \log{\left(5 x \right)} > 2 \log{\left(5 \right)}$$
$$\log{\left(5 \left(- \frac{1}{10} + \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}\right) \right)} + \left(\left(- \frac{1}{10} + \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}\right) + 1\right) \log{\left(5 \right)} > 2 \log{\left(5 \right)}$$

/9    W(log(5))\             /  1   5*W(log(5))\           
|-- + ---------|*log(5) + log|- - + -----------| > 2*log(5)
\10     log(5) /             \  2      log(5)  /           

Entonces
$$x < \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{W\left(\log{\left(5 \right)}\right)}{\log{\left(5 \right)}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1