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cos(x)<=-sqrt(2)/2

cos(x)<=-sqrt(2)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
             ___ 
          -\/ 2  
cos(x) <= -------
             2   
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
cos(x) <= (-sqrt(2))/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
O
$$x = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = \pi n - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{3 \pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
$$\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{3 \pi}{4} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{2}}{2}$$
                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| <= -------
    \  10   4        /       2   
                          

pero
                             ___ 
    /  1    pi       \    -\/ 2  
-sin|- -- + -- + pi*n| >= -------
    \  10   4        /       2   
                          

Entonces
$$x \leq \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \pi n + \frac{3 \pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{\pi}{4}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /3*pi            5*pi\
And|---- <= x, x <= ----|
   \ 4               4  /
$$\frac{3 \pi}{4} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{4}$$
(3*pi/4 <= x)∧(x <= 5*pi/4)
Respuesta rápida 2 [src]
 3*pi  5*pi 
[----, ----]
  4     4   
$$x\ in\ \left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$$
x in Interval(3*pi/4, 5*pi/4)
Gráfico
cos(x)<=-sqrt(2)/2 desigualdades