sin(4x)

+ desigualdades

¡Resolver la desigualdad!

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]

             ___
           \/ 2 
sin(4*x) < -----
             2  

$$\sin{\left(4 x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

sin(4*x) < sqrt(2)/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(4 x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(4 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(4 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$4 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$4 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$4 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$4 x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{3 \pi}{16}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{3 \pi}{16}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{16}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{3 \pi}{16}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{16}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{16}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(4 x \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(4 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{16}\right) \right)} < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                           ___
   /  2   pi         \   \/ 2 
sin|- - + -- + 2*pi*n| < -----
   \  5   4          /     2  
                         

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{16}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{16}$$
$$x > \frac{\pi n}{2} + \frac{3 \pi}{16}$$

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

  /   /            pi\     /     pi  3*pi    \\
Or|And|0 <= x, x < --|, And|x <= --, ---- < x||
  \   \            16/     \     2    16     //

$$\left(0 \leq x \wedge x < \frac{\pi}{16}\right) \vee \left(x \leq \frac{\pi}{2} \wedge \frac{3 \pi}{16} < x\right)$$

((0 <= x)∧(x < pi/16))∨((x <= pi/2)∧(3*pi/16 < x))

Respuesta rápida 2 [src]

    pi     3*pi  pi 
[0, --) U (----, --]
    16      16   2  

$$x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{16}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{16}, \frac{\pi}{2}\right]$$

x in Union(Interval.Ropen(0, pi/16), Interval.Lopen(3*pi/16, pi/2))