Sr Examen

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sin(y)<-1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

sin(y) < -1/2

\sin{\left(y \right)} < - \frac{1}{2}

sin(y) < -1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\sin{\left(y \right)} < - \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\sin{\left(y \right)} = - \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\sin{\left(y \right)} = - \frac{1}{2}

es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en

y = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)}

y = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{1}{2} \right)} + \pi

y = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}

y = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}

, donde n es cualquier número entero

y_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}

y_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}

y_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}

y_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}

Las raíces dadas

y_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}

y_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

y_{0} < y_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

y_{0} = y_{1} - \frac{1}{10}

\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6}\right) + - \frac{1}{10}

2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}

lo sustituimos en la expresión

\sin{\left(y \right)} < - \frac{1}{2}

\sin{\left(2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10} \right)} < - \frac{1}{2}

    /1    pi         \       
-sin|-- + -- - 2*pi*n| < -1/2
    \10   6          /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:

y < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       y1      y2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:

y < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}

y > 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}

Solución de la desigualdad en el gráfico

Respuesta rápida [src]

   /7*pi          11*pi\
And|---- < y, y < -----|
   \ 6              6  /

\frac{7 \pi}{6} < y \wedge y < \frac{11 \pi}{6}

(7*pi/6 < y)∧(y < 11*pi/6)

Respuesta rápida 2 [src]

 7*pi  11*pi 
(----, -----)
  6      6

y\ in\ \left(\frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}\right)

y in Interval.open(7*pi/6, 11*pi/6)