(sin(x/2)-cos(x/2))^2<=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
cambiamos
$$\frac{1}{2} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{\left(0 w + \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt{\left(0 w + \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)^{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
o
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-cosx/2 + sinx/2 = sqrt(2)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-cosx/2 + sinx/2 = sqrt2/2

Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-cosx/2 + sinx/2 = -sqrt(2)/2

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-cosx/2 + sinx/2 = -sqrt2/2

Esta ecuación no tiene soluciones
o

hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
$$\left(\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$

                                                                                                   2       
/     /           /                 ___________\\      /           /                 ___________\\\        
|     |1          |      ___       /       ___ ||      |1          |      ___       /       ___ |||  <= 1/2
|- cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| - sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /||        
\     \20                                       /      \20                                       //        

pero

                                                                                                   2       
/     /           /                 ___________\\      /           /                 ___________\\\        
|     |1          |      ___       /       ___ ||      |1          |      ___       /       ___ |||  >= 1/2
|- cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| - sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /||        
\     \20                                       /      \20                                       //        

Entonces
$$x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------•-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x4      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$