Sr Examen
Otras calculadoras
- Sistemas de desigualdades paso a paso
- Ecuaciones básicas paso a paso
- Sistemas de ecuaciones paso a paso
- Solución de desigualdades trigonométricas en línea
- Resolución de desigualdades exponenciales en línea
- Resolución de desigualdades con un módulo en línea
-
¿Cómo usar?
- Desigualdades:
-
x^2-10x<0
-
(x-2)^2/(x-1)<0
-
-x^2+3x-2<0
-
-x^2+4x-4<0
- Integral de d{x}:
- (sin(x/2)-cos(x/2))^2
-
Expresiones idénticas
- (sin(x/ dos)-cos(x/ dos))^ dos <= uno / dos
- ( seno de (x dividir por 2) menos coseno de (x dividir por 2)) al cuadrado menos o igual a 1 dividir por 2
- ( seno de (x dividir por dos) menos coseno de (x dividir por dos)) en el grado dos menos o igual a uno dividir por dos
- (sin(x/2)-cos(x/2))2<=1/2
- sinx/2-cosx/22<=1/2
- (sin(x/2)-cos(x/2))²<=1/2
- (sin(x/2)-cos(x/2)) en el grado 2<=1/2
- sinx/2-cosx/2^2<=1/2
- (sin(x dividir por 2)-cos(x dividir por 2))^2<=1 dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- (sin(x/2)+cos(x/2))^2<=1/2
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(x)<=1/sqrt(2)
- sin2x>=1/2
- sin(x)<-2
- sin((π/2)+x)≤0
- sinП/4*cosx+cosП/8*sinx<=1
- Coseno cos
- cos(x)>3/5
- cos(2x)+5cos(x)+3>=0
- cos^22x-2cos2x>0
- cos>1/2
- cos(2x)>=0
(sin(x/2)-cos(x/2))^2<=1/2 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
2 / /x\ /x\\ |sin|-| - cos|-|| <= 1/2 \ \2/ \2//
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
(sin(x/2) - cos(x/2))^2 <= 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
cambiamos
$$\frac{1}{2} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{\left(0 w + \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt{\left(0 w + \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)^{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
o
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
Esta ecuación no tiene soluciones
o
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
$$\left(\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
pero
Entonces
$$x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} = \frac{1}{2}$$
cambiamos
$$\frac{1}{2} - \sin{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} - \frac{1}{2} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 2 - contiene un número par 2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia 2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\sqrt{\left(0 w + \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
$$\sqrt{\left(0 w + \left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\right)^{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$$
o
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-cosx/2 + sinx/2 = sqrt(2)/2
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
-cosx/2 + sinx/2 = sqrt2/2
Esta ecuación no tiene soluciones
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación
-cosx/2 + sinx/2 = -sqrt(2)/2
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación
-cosx/2 + sinx/2 = -sqrt2/2
Esta ecuación no tiene soluciones
o
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$\frac{x}{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
sustituimos w:
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
$$x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}$$
$$x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
$$\left(\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} - \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)}\right)^{2} \leq \frac{1}{2}$$
2 / / / ___________\\ / / ___________\\\ | |1 | ___ / ___ || |1 | ___ / ___ ||| <= 1/2 |- cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /| - sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /|| \ \20 / \20 //
pero
2 / / / ___________\\ / / ___________\\\ | |1 | ___ / ___ || |1 | ___ / ___ ||| >= 1/2 |- cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /| - sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3 + 2*\/ 2 + \/ 3 /|| \ \20 / \20 //
Entonces
$$x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
_____ _____
/ \ / \
-------•-------•-------•-------•-------
x3 x2 x4 x1Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x \leq - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}$$
$$x \geq - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x \leq 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2
[src]
pi 5*pi [--, ----] 6 6
$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$$
x in Interval(pi/6, 5*pi/6)
Respuesta rápida
[src]
/pi 5*pi\ And|-- <= x, x <= ----| \6 6 /
$$\frac{\pi}{6} \leq x \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$
(pi/6 <= x)∧(x <= 5*pi/6)
Gráfico