(2/x)-(3/(x-4))>5/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \frac{3}{x - 4} + \frac{2}{x} > \frac{5}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \frac{3}{x - 4} + \frac{2}{x} = \frac{5}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{3}{x - 4} + \frac{2}{x} = \frac{5}{2}$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
x y -4 + x
obtendremos:
$$x \left(- \frac{3}{x - 4} + \frac{2}{x}\right) = \frac{5 x}{2}$$
$$- \frac{x + 8}{x - 4} = \frac{5 x}{2}$$
$$- \frac{x + 8}{x - 4} \left(x - 4\right) = \frac{5 x}{2} \left(x - 4\right)$$
$$- x - 8 = \frac{5 x^{2}}{2} - 10 x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- x - 8 = \frac{5 x^{2}}{2} - 10 x$$
en
$$- \frac{5 x^{2}}{2} + 9 x - 8 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = - \frac{5}{2}$$
$$b = 9$$
$$c = -8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9)^2 - 4 * (-5/2) * (-8) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{8}{5}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = \frac{8}{5}$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = \frac{8}{5}$$
$$x_{2} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{8}{5}$$
$$x_{2} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{8}{5}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \frac{3}{x - 4} + \frac{2}{x} > \frac{5}{2}$$
$$- \frac{3}{-4 + \frac{3}{2}} + \frac{2}{\frac{3}{2}} > \frac{5}{2}$$

38      
-- > 5/2
15      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{8}{5}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{8}{5}$$
$$x > 2$$