sin(x+pi/3)>=(-sqrt(3))/3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi$$
O
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{3}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
$$\sin{\left(\left(2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$

    /                  /  ___\\       ___ 
    |1                 |\/ 3 ||    -\/ 3  
-sin|-- - 2*pi*n + asin|-----|| >= -------
    \10                \  3  //       3   
    

pero

    /                  /  ___\\      ___ 
    |1                 |\/ 3 ||   -\/ 3  
-sin|-- - 2*pi*n + asin|-----|| < -------
    \10                \  3  //      3   
   

Entonces
$$x \leq 2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq 2 \pi n - \frac{\pi}{3} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} \wedge x \leq 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} + \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2