Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3 \pi}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3 \pi}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(\frac{- \frac{3 \pi}{2} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{- \frac{3 \pi}{2} - \frac{1}{10}}{2} \right)} > \frac{1}{2}$$
/1 pi\ /1 pi\
cos|-- + --|*sin|-- + --| > 1/2
\20 4 / \20 4 /
Entonces
$$x < - \frac{3 \pi}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{3 \pi}{2} \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x1 x2