ctg(2x)=<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(2 x \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(2 x \right)} = 1$$
cambiamos
$$\cot{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
$$\cot{\left(2 x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(2 x \right)}$$
Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w = 1$$
Obtenemos la respuesta: w = 1
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(2 x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(2 x \right)} \leq 1$$
$$\cot{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \leq 1$$

   /1   pi\     
tan|- + --| <= 1
   \5   4 /     

pero

   /1   pi\     
tan|- + --| >= 1
   \5   4 /     

Entonces
$$x \leq \frac{\pi}{8}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\pi}{8}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1