ctgx/2<-sqrt3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{2} < - \sqrt{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{2} = - \sqrt{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{2} = - \sqrt{3}$$
cambiamos
$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{3} = 0$$
$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{2} + \sqrt{3} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

sqrt3 + w/2 = 0

Dividamos ambos miembros de la ecuación en (sqrt(3) + w/2)/w

w = 0 / ((sqrt(3) + w/2)/w)

Obtenemos la respuesta: w = -2*sqrt(3)
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\cot{\left(x \right)}}{2} < - \sqrt{3}$$
$$\frac{\cot{\left(- \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)} - \frac{1}{10} \right)}}{2} < - \sqrt{3}$$

    /1        /    ___\\          
-cot|-- + acot\2*\/ 3 /|       ___
    \10                /  < -\/ 3 
-------------------------   
            2                     

pero

    /1        /    ___\\          
-cot|-- + acot\2*\/ 3 /|       ___
    \10                /  > -\/ 3 
-------------------------   
            2                     

Entonces
$$x < - \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \operatorname{acot}{\left(2 \sqrt{3} \right)}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1