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sin(x/2)*cos(x/2)>1/4
Resolver desigualdades/ sin(x/2)*cos(x/2)>1/4

sin(x/2)*cos(x/2)>1/4 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
   /x\    /x\      
sin|-|*cos|-| > 1/4
   \2/    \2/
sin⁡(x2)cos⁡(x2)>14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{4} 
sin(x/2)*cos(x/2) > 1/4
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(x2)cos⁡(x2)>14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{4}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(x2)cos⁡(x2)=14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{4}
Resolvemos:
x1=4atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=−4atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=−4atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=−4atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=4atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
x2=−4atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x3=−4atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x4=−4atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
Las raíces dadas
x3=−4atan⁡(3+2+23+2)x_{3} = - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
x2=−4atan⁡(−3+22−3+2)x_{2} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x4=−4atan⁡(−23+2+3+2)x_{4} = - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)}
x1=4atan⁡(−2+22−3+3)x_{1} = 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x3x_{0} < x_{3}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x3−110x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}
=
−4atan⁡(3+2+23+2)−110- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}
=
−4atan⁡(3+2+23+2)−110- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(x2)cos⁡(x2)>14\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} > \frac{1}{4}
sin⁡(−4atan⁡(3+2+23+2)−1102)cos⁡(−4atan⁡(3+2+23+2)−1102)>14\sin{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} \cos{\left(\frac{- 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} - \frac{1}{10}}{2} \right)} > \frac{1}{4}
    /           /                 ___________\\    /           /                 ___________\\      
    |1          |      ___       /       ___ ||    |1          |      ___       /       ___ ||      
-cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /|*sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3  + 2*\/  2 + \/ 3  /| > 1/4
    \20                                       /    \20                                       /

Entonces
x<−4atan⁡(3+2+23+2)x < - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x>−4atan⁡(3+2+23+2)∧x<−4atan⁡(−3+22−3+2)x > - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x < - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x3      x2      x4      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x>−4atan⁡(3+2+23+2)∧x<−4atan⁡(−3+22−3+2)x > - 4 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{3} + 2 + 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} \right)} \wedge x < - 4 \operatorname{atan}{\left(- \sqrt{3} + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + 2 \right)}
x>−4atan⁡(−23+2+3+2)∧x<4atan⁡(−2+22−3+3)x > - 4 \operatorname{atan}{\left(- 2 \sqrt{\sqrt{3} + 2} + \sqrt{3} + 2 \right)} \wedge x < 4 \operatorname{atan}{\left(-2 + 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3} \right)}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-60-50-40-30-20-101020304050601-1
Respuesta rápida [src] 
   /pi          5*pi\
And|-- < x, x < ----|
   \6            6  /
π6<x∧x<5π6\frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{5 \pi}{6} 
(pi/6 < x)∧(x < 5*pi/6)
Respuesta rápida 2 [src] 
 pi  5*pi 
(--, ----)
 6    6
x in (π6,5π6)x\ in\ \left(\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right) 
x in Interval.open(pi/6, 5*pi/6)
Gráfico
sin(x/2)*cos(x/2)>1/4 desigualdades
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