log(1/5)x<=log(1/5)1/8 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \log{\left(\frac{1}{5} \right)} \leq \frac{\log{\left(\frac{1}{5} \right)}}{8}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \log{\left(\frac{1}{5} \right)} = \frac{\log{\left(\frac{1}{5} \right)}}{8}$$
Resolvemos:
Tenemos una ecuación lineal:

log(1/5)*x = log(1/5)*1/8

Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

log1/5x = log(1/5)*1/8

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

log1/5x = log1/5*1/8

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -log(5)

x = -log(5)/8 / (-log(5))

$$x_{1} = \frac{1}{8}$$
$$x_{1} = \frac{1}{8}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{8}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{8}$$
=
$$\frac{1}{40}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \log{\left(\frac{1}{5} \right)} \leq \frac{\log{\left(\frac{1}{5} \right)}}{8}$$
$$\frac{\log{\left(\frac{1}{5} \right)}}{40} \leq \frac{\log{\left(\frac{1}{5} \right)}}{8}$$

-log(5)     -log(5) 
-------- <= --------
   40          8    

pero

-log(5)     -log(5) 
-------- >= --------
   40          8    

Entonces
$$x \leq \frac{1}{8}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{1}{8}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1