Integral de sin(2x)sin(9x)dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(9 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \sin{\left(9 x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin{\left(x \right)} \sin{\left(9 x \right)} \cos{\left(x \right)} = 256 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 576 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 432 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 120 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 9 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 256 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 256 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{10}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{256 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 576 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 576 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{8}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 64 \sin^{9}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 432 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 432 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{6}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{432 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 120 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 120 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{4}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 24 \sin^{5}{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 9 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 9 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

            1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 \sin^{3}{\left(x \right)}$

         El resultado es: $\frac{256 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - 64 \sin^{9}{\left(x \right)} + \frac{432 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 24 \sin^{5}{\left(x \right)} + 3 \sin^{3}{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{9}{\left(x \right)} + \frac{864 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 48 \sin^{5}{\left(x \right)} + 6 \sin^{3}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(2 x \right)} \sin{\left(9 x \right)} = 512 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1152 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 864 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 240 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 18 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 512 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 512 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1152 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1152 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 128 \sin^{9}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 864 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 864 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{864 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 240 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 240 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 48 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 18 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \sin^{3}{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{512 \sin^{11}{\left(x \right)}}{11} - 128 \sin^{9}{\left(x \right)} + \frac{864 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - 48 \sin^{5}{\left(x \right)} + 6 \sin^{3}{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(1792 \sin^{8}{\left(x \right)} - 4928 \sin^{6}{\left(x \right)} + 4752 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1848 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{77}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(1792 \sin^{8}{\left(x \right)} - 4928 \sin^{6}{\left(x \right)} + 4752 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1848 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{77}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(1792 \sin^{8}{\left(x \right)} - 4928 \sin^{6}{\left(x \right)} + 4752 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1848 \sin^{2}{\left(x \right)} + 231\right) \sin^{3}{\left(x \right)}}{77}+ \mathrm{constant}$