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Resolución de integrales/ (8-4x)/ sqrt((8-4x)/x)

Integral de sqrt((8-4x)/x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2                 
  /                 
 |                  
 |      _________   
 |     / 8 - 4*x    
 |    /  -------  dx
 |  \/      x       
 |                  
/                   
0
∫028−4xx dx\int\limits_{0}^{2} \sqrt{\frac{8 - 4 x}{x}}\, dx 
Integral(sqrt((8 - 4*x)/x), (x, 0, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8−4xx=2−1+2x\sqrt{\frac{8 - 4 x}{x}} = 2 \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2−1+2x dx=2∫−1+2x dx\int 2 \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}\, dx = 2 \int \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {ix32x−2−2ixx−2−2iacosh⁡(2x2)for ∣x∣2>1−x322−x+2x2−x+2asin⁡(2x2)otherwese\begin{cases} \frac{i x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 i \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 i \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 - x}} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: 2({ix32x−2−2ixx−2−2iacosh⁡(2x2)for ∣x∣2>1−x322−x+2x2−x+2asin⁡(2x2)otherwese)2 \left(\begin{cases} \frac{i x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 i \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 i \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 - x}} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8−4xx=−4+8x\sqrt{\frac{8 - 4 x}{x}} = \sqrt{-4 + \frac{8}{x}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      −4+8x=2−1+2x\sqrt{-4 + \frac{8}{x}} = 2 \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2−1+2x dx=2∫−1+2x dx\int 2 \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}\, dx = 2 \int \sqrt{-1 + \frac{2}{x}}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        {ix32x−2−2ixx−2−2iacosh⁡(2x2)for ∣x∣2>1−x322−x+2x2−x+2asin⁡(2x2)otherwese\begin{cases} \frac{i x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 i \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 i \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 - x}} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}

      Por lo tanto, el resultado es: 2({ix32x−2−2ixx−2−2iacosh⁡(2x2)for ∣x∣2>1−x322−x+2x2−x+2asin⁡(2x2)otherwese)2 \left(\begin{cases} \frac{i x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 i \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 i \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 - x}} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{otherwese} \end{cases}\right)

  2. Ahora simplificar:

    {2i(x32−2x−2x−2acosh⁡(2x2))x−2for ∣x∣2>12(−x32+2x+22−xasin⁡(2x2))2−xotherwese\begin{cases} \frac{2 i \left(x^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x - 2} \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)}\right)}{\sqrt{x - 2}} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\\frac{2 \left(- x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{2 - x} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)}\right)}{\sqrt{2 - x}} & \text{otherwese} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {2i(x32−2x−2x−2acosh⁡(2x2))x−2for ∣x∣2>12(−x32+2x+22−xasin⁡(2x2))2−xotherwese+constant\begin{cases} \frac{2 i \left(x^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x - 2} \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)}\right)}{\sqrt{x - 2}} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\\frac{2 \left(- x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{2 - x} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)}\right)}{\sqrt{2 - x}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{2i(x32−2x−2x−2acosh⁡(2x2))x−2for ∣x∣2>12(−x32+2x+22−xasin⁡(2x2))2−xotherwese+constant\begin{cases} \frac{2 i \left(x^{\frac{3}{2}} - 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x - 2} \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)}\right)}{\sqrt{x - 2}} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\\frac{2 \left(- x^{\frac{3}{2}} + 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{2 - x} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)}\right)}{\sqrt{2 - x}} & \text{otherwese} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                            //           /  ___   ___\        3/2           ___              \
  /                         ||           |\/ 2 *\/ x |     I*x        2*I*\/ x        |x|    |
 |                          ||- 2*I*acosh|-----------| + ---------- - ----------  for --- > 1|
 |     _________            ||           \     2     /     ________     ________       2     |
 |    / 8 - 4*x             ||                           \/ -2 + x    \/ -2 + x              |
 |   /  -------  dx = C + 2*|<                                                               |
 | \/      x                ||         /  ___   ___\       3/2          ___                  |
 |                          ||         |\/ 2 *\/ x |      x         2*\/ x                   |
/                           ||   2*asin|-----------| - --------- + ---------       otherwise |
                            ||         \     2     /     _______     _______                 |
                            \\                         \/ 2 - x    \/ 2 - x                  /
∫8−4xx dx=C+2({ix32x−2−2ixx−2−2iacosh⁡(2x2)for ∣x∣2>1−x322−x+2x2−x+2asin⁡(2x2)otherwise)\int \sqrt{\frac{8 - 4 x}{x}}\, dx = C + 2 \left(\begin{cases} \frac{i x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x - 2}} - \frac{2 i \sqrt{x}}{\sqrt{x - 2}} - 2 i \operatorname{acosh}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{for}\: \frac{\left|{x}\right|}{2} > 1 \\- \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2 - x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{2 - x}} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x}}{2} \right)} & \text{otherwise} \end{cases}\right)
Simplificar
Gráfica
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.80200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
2*pi
2π2 \pi 
=
= 
2*pi
2π2 \pi 
2*pi
Respuesta numérica [src] 
6.28318530505726
6.28318530505726

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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