Integral de x*e^(-x)*cos(2*x) dx

1. que $u = - x$.

   Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

   $\int u e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du$

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(u \right)}$:

      1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

         1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(2 u \right)} - \int \left(- 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

         2. Para el integrando $- 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}$:

            que $u{\left(u \right)} = - 2 \sin{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)} + e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

         3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

            $5 \int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)} + e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$

            Por lo tanto,

            $\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = \frac{2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} + \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5}\, du = \frac{2 \int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du}{5}$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \sin{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \sin{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - \int 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du$.

            2. Para el integrando $2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = 2 \cos{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $5 \int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \sin{\left(2 u \right)} - 2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\, du = \frac{e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} - \frac{2 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{25} - \frac{4 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{25}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}\, du = \frac{\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du}{5}$

         1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

            1. Para el integrando $e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = e^{u} \cos{\left(2 u \right)} - \int \left(- 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

            2. Para el integrando $- 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}$:

               que $u{\left(u \right)} = - 2 \sin{\left(2 u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)} + e^{u} \cos{\left(2 u \right)} + \int \left(- 4 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\right)\, du$.

            3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

               $5 \int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = 2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)} + e^{u} \cos{\left(2 u \right)}$

               Por lo tanto,

               $\int e^{u} \cos{\left(2 u \right)}\, du = \frac{2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{5} + \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{25} + \frac{e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{25}$

      El resultado es: $\frac{4 e^{u} \sin{\left(2 u \right)}}{25} - \frac{3 e^{u} \cos{\left(2 u \right)}}{25}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- x \left(- \frac{2 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) + \frac{4 e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{25} + \frac{3 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{25}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(10 x \sin{\left(2 x \right)} - 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(10 x \sin{\left(2 x \right)} - 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(10 x \sin{\left(2 x \right)} - 5 x \cos{\left(2 x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{- x}}{25}+ \mathrm{constant}$