Integral de sqrt(1-2x-x^2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\right)^{3} = - x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1} - 2 x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1} + \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\right)\, dx = - 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

      El resultado es: $- 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx - \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx + \int \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\right)^{3} = - x^{2} \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)} - 2 x \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)} + \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{2} \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\right)\, dx = - \int x^{2} \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 x \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\int \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\, dx$

      El resultado es: $- 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx - \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx + \int \sqrt{- x^{2} + \left(1 - 2 x\right)}\, dx$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx - \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx + \int \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \int x \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx - \int x^{2} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx + \int \sqrt{- x^{2} - 2 x + 1}\, dx+ \mathrm{constant}$