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Resolución de integrales/ cos^2/ cos^23xdx

Integral de cos^23xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1            
  /            
 |             
 |     23      
 |  cos  (x) dx
 |             
/              
0
∫01cos⁡23(x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{23}{\left(x \right)}\, dx 
Integral(cos(x)^23, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡23(x)=(1−sin⁡2(x))11cos⁡(x)\cos^{23}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))11cos⁡(x)=−sin⁡22(x)cos⁡(x)+11sin⁡20(x)cos⁡(x)−55sin⁡18(x)cos⁡(x)+165sin⁡16(x)cos⁡(x)−330sin⁡14(x)cos⁡(x)+462sin⁡12(x)cos⁡(x)−462sin⁡10(x)cos⁡(x)+330sin⁡8(x)cos⁡(x)−165sin⁡6(x)cos⁡(x)+55sin⁡4(x)cos⁡(x)−11sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡22(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡22(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u22 du\int u^{22}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u22 du=u2323\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡23(x)23\frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡23(x)23- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫11sin⁡20(x)cos⁡(x) dx=11∫sin⁡20(x)cos⁡(x) dx\int 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u20 du\int u^{20}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u20 du=u2121\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡21(x)21\frac{\sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡21(x)21\frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−55sin⁡18(x)cos⁡(x)) dx=−55∫sin⁡18(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u18 du\int u^{18}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u18 du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡19(x)19\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: −55sin⁡19(x)19- \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫165sin⁡16(x)cos⁡(x) dx=165∫sin⁡16(x)cos⁡(x) dx\int 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u16 du\int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡17(x)17\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: 165sin⁡17(x)17\frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−330sin⁡14(x)cos⁡(x)) dx=−330∫sin⁡14(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u14 du\int u^{14}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡15(x)15\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: −22sin⁡15(x)- 22 \sin^{15}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫462sin⁡12(x)cos⁡(x) dx=462∫sin⁡12(x)cos⁡(x) dx\int 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u12 du\int u^{12}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡13(x)13\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: 462sin⁡13(x)13\frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−462sin⁡10(x)cos⁡(x)) dx=−462∫sin⁡10(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u10 du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −42sin⁡11(x)- 42 \sin^{11}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫330sin⁡8(x)cos⁡(x) dx=330∫sin⁡8(x)cos⁡(x) dx\int 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 110sin⁡9(x)3\frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−165sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−165∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −165sin⁡7(x)7- \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫55sin⁡4(x)cos⁡(x) dx=55∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡5(x)11 \sin^{5}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−11sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−11∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −11sin⁡3(x)3- \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −sin⁡23(x)23+11sin⁡21(x)21−55sin⁡19(x)19+165sin⁡17(x)17−22sin⁡15(x)+462sin⁡13(x)13−42sin⁡11(x)+110sin⁡9(x)3−165sin⁡7(x)7+11sin⁡5(x)−11sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x))11cos⁡(x)=−sin⁡22(x)cos⁡(x)+11sin⁡20(x)cos⁡(x)−55sin⁡18(x)cos⁡(x)+165sin⁡16(x)cos⁡(x)−330sin⁡14(x)cos⁡(x)+462sin⁡12(x)cos⁡(x)−462sin⁡10(x)cos⁡(x)+330sin⁡8(x)cos⁡(x)−165sin⁡6(x)cos⁡(x)+55sin⁡4(x)cos⁡(x)−11sin⁡2(x)cos⁡(x)+cos⁡(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡22(x)cos⁡(x)) dx=−∫sin⁡22(x)cos⁡(x) dx\int \left(- \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u22 du\int u^{22}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u22 du=u2323\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡23(x)23\frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

        Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡23(x)23- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫11sin⁡20(x)cos⁡(x) dx=11∫sin⁡20(x)cos⁡(x) dx\int 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u20 du\int u^{20}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u20 du=u2121\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡21(x)21\frac{\sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡21(x)21\frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−55sin⁡18(x)cos⁡(x)) dx=−55∫sin⁡18(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u18 du\int u^{18}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u18 du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡19(x)19\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: −55sin⁡19(x)19- \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫165sin⁡16(x)cos⁡(x) dx=165∫sin⁡16(x)cos⁡(x) dx\int 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u16 du\int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u16 du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡17(x)17\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: 165sin⁡17(x)17\frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−330sin⁡14(x)cos⁡(x)) dx=−330∫sin⁡14(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u14 du\int u^{14}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u14 du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡15(x)15\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: −22sin⁡15(x)- 22 \sin^{15}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫462sin⁡12(x)cos⁡(x) dx=462∫sin⁡12(x)cos⁡(x) dx\int 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u12 du\int u^{12}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u12 du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡13(x)13\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: 462sin⁡13(x)13\frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−462sin⁡10(x)cos⁡(x)) dx=−462∫sin⁡10(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u10 du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u10 du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: −42sin⁡11(x)- 42 \sin^{11}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫330sin⁡8(x)cos⁡(x) dx=330∫sin⁡8(x)cos⁡(x) dx\int 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u8 du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u8 du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 110sin⁡9(x)3\frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−165sin⁡6(x)cos⁡(x)) dx=−165∫sin⁡6(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u6 du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u6 du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: −165sin⁡7(x)7- \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫55sin⁡4(x)cos⁡(x) dx=55∫sin⁡4(x)cos⁡(x) dx\int 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u4 du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin⁡5(x)11 \sin^{5}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−11sin⁡2(x)cos⁡(x)) dx=−11∫sin⁡2(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u2 du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −11sin⁡3(x)3- \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: −sin⁡23(x)23+11sin⁡21(x)21−55sin⁡19(x)19+165sin⁡17(x)17−22sin⁡15(x)+462sin⁡13(x)13−42sin⁡11(x)+110sin⁡9(x)3−165sin⁡7(x)7+11sin⁡5(x)−11sin⁡3(x)3+sin⁡(x)- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (−88179sin⁡22(x)+1062347sin⁡20(x)−5870865sin⁡18(x)+19684665sin⁡16(x)−44618574sin⁡14(x)+72076158sin⁡12(x)−85180914sin⁡10(x)+74364290sin⁡8(x)−47805615sin⁡6(x)+22309287sin⁡4(x)−7436429sin⁡2(x)+2028117)sin⁡(x)2028117\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−88179sin⁡22(x)+1062347sin⁡20(x)−5870865sin⁡18(x)+19684665sin⁡16(x)−44618574sin⁡14(x)+72076158sin⁡12(x)−85180914sin⁡10(x)+74364290sin⁡8(x)−47805615sin⁡6(x)+22309287sin⁡4(x)−7436429sin⁡2(x)+2028117)sin⁡(x)2028117+constant\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−88179sin⁡22(x)+1062347sin⁡20(x)−5870865sin⁡18(x)+19684665sin⁡16(x)−44618574sin⁡14(x)+72076158sin⁡12(x)−85180914sin⁡10(x)+74364290sin⁡8(x)−47805615sin⁡6(x)+22309287sin⁡4(x)−7436429sin⁡2(x)+2028117)sin⁡(x)2028117+constant\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                               
 |                                                                   7            19            3         23            21             9             17             13            
 |    23                   11            15            5      165*sin (x)   55*sin  (x)   11*sin (x)   sin  (x)   11*sin  (x)   110*sin (x)   165*sin  (x)   462*sin  (x)         
 | cos  (x) dx = C - 42*sin  (x) - 22*sin  (x) + 11*sin (x) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(x)
 |                                                                 7             19           3           23           21            3             17             13              
/
∫cos⁡23(x) dx=C−sin⁡23(x)23+11sin⁡21(x)21−55sin⁡19(x)19+165sin⁡17(x)17−22sin⁡15(x)+462sin⁡13(x)13−42sin⁡11(x)+110sin⁡9(x)3−165sin⁡7(x)7+11sin⁡5(x)−11sin⁡3(x)3+sin⁡(x)\int \cos^{23}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                                  7            19            3         23            21             9             17             13            
        11            15            5      165*sin (1)   55*sin  (1)   11*sin (1)   sin  (1)   11*sin  (1)   110*sin (1)   165*sin  (1)   462*sin  (1)         
- 42*sin  (1) - 22*sin  (1) + 11*sin (1) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(1)
                                                7             19           3           23           21            3             17             13
−165sin⁡7(1)7−42sin⁡11(1)−11sin⁡3(1)3−22sin⁡15(1)−55sin⁡19(1)19−sin⁡23(1)23+11sin⁡21(1)21+165sin⁡17(1)17+sin⁡(1)+462sin⁡13(1)13+11sin⁡5(1)+110sin⁡9(1)3- \frac{165 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - 42 \sin^{11}{\left(1 \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - 22 \sin^{15}{\left(1 \right)} - \frac{55 \sin^{19}{\left(1 \right)}}{19} - \frac{\sin^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{165 \sin^{17}{\left(1 \right)}}{17} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(1 \right)}}{13} + 11 \sin^{5}{\left(1 \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(1 \right)}}{3} 
=
= 
                                                  7            19            3         23            21             9             17             13            
        11            15            5      165*sin (1)   55*sin  (1)   11*sin (1)   sin  (1)   11*sin  (1)   110*sin (1)   165*sin  (1)   462*sin  (1)         
- 42*sin  (1) - 22*sin  (1) + 11*sin (1) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(1)
                                                7             19           3           23           21            3             17             13
−165sin⁡7(1)7−42sin⁡11(1)−11sin⁡3(1)3−22sin⁡15(1)−55sin⁡19(1)19−sin⁡23(1)23+11sin⁡21(1)21+165sin⁡17(1)17+sin⁡(1)+462sin⁡13(1)13+11sin⁡5(1)+110sin⁡9(1)3- \frac{165 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - 42 \sin^{11}{\left(1 \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - 22 \sin^{15}{\left(1 \right)} - \frac{55 \sin^{19}{\left(1 \right)}}{19} - \frac{\sin^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{165 \sin^{17}{\left(1 \right)}}{17} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(1 \right)}}{13} + 11 \sin^{5}{\left(1 \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(1 \right)}}{3} 
-42*sin(1)^11 - 22*sin(1)^15 + 11*sin(1)^5 - 165*sin(1)^7/7 - 55*sin(1)^19/19 - 11*sin(1)^3/3 - sin(1)^23/23 + 11*sin(1)^21/21 + 110*sin(1)^9/3 + 165*sin(1)^17/17 + 462*sin(1)^13/13 + sin(1)
Respuesta numérica [src] 
0.258509722128661
0.258509722128661

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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