Sr Examen

Integral de cos^23xdx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
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 |             
 |     23      
 |  cos  (x) dx
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0              
01cos23(x)dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{23}{\left(x \right)}\, dx
Integral(cos(x)^23, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos23(x)=(1sin2(x))11cos(x)\cos^{23}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))11cos(x)=sin22(x)cos(x)+11sin20(x)cos(x)55sin18(x)cos(x)+165sin16(x)cos(x)330sin14(x)cos(x)+462sin12(x)cos(x)462sin10(x)cos(x)+330sin8(x)cos(x)165sin6(x)cos(x)+55sin4(x)cos(x)11sin2(x)cos(x)+cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin22(x)cos(x))dx=sin22(x)cos(x)dx\int \left(- \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u22du\int u^{22}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u22du=u2323\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin23(x)23\frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

        Por lo tanto, el resultado es: sin23(x)23- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        11sin20(x)cos(x)dx=11sin20(x)cos(x)dx\int 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u20du\int u^{20}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u20du=u2121\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin21(x)21\frac{\sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin21(x)21\frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (55sin18(x)cos(x))dx=55sin18(x)cos(x)dx\int \left(- 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u18du\int u^{18}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u18du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin19(x)19\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: 55sin19(x)19- \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        165sin16(x)cos(x)dx=165sin16(x)cos(x)dx\int 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u16du\int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u16du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin17(x)17\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: 165sin17(x)17\frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (330sin14(x)cos(x))dx=330sin14(x)cos(x)dx\int \left(- 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u14du\int u^{14}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u14du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin15(x)15\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: 22sin15(x)- 22 \sin^{15}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        462sin12(x)cos(x)dx=462sin12(x)cos(x)dx\int 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u12du\int u^{12}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u12du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin13(x)13\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: 462sin13(x)13\frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (462sin10(x)cos(x))dx=462sin10(x)cos(x)dx\int \left(- 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u10du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u10du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: 42sin11(x)- 42 \sin^{11}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        330sin8(x)cos(x)dx=330sin8(x)cos(x)dx\int 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u8du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 110sin9(x)3\frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (165sin6(x)cos(x))dx=165sin6(x)cos(x)dx\int \left(- 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u6du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 165sin7(x)7- \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        55sin4(x)cos(x)dx=55sin4(x)cos(x)dx\int 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u4du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin5(x)11 \sin^{5}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (11sin2(x)cos(x))dx=11sin2(x)cos(x)dx\int \left(- 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u2du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin3(x)3- \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: sin23(x)23+11sin21(x)2155sin19(x)19+165sin17(x)1722sin15(x)+462sin13(x)1342sin11(x)+110sin9(x)3165sin7(x)7+11sin5(x)11sin3(x)3+sin(x)- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1sin2(x))11cos(x)=sin22(x)cos(x)+11sin20(x)cos(x)55sin18(x)cos(x)+165sin16(x)cos(x)330sin14(x)cos(x)+462sin12(x)cos(x)462sin10(x)cos(x)+330sin8(x)cos(x)165sin6(x)cos(x)+55sin4(x)cos(x)11sin2(x)cos(x)+cos(x)\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{11} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (sin22(x)cos(x))dx=sin22(x)cos(x)dx\int \left(- \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{22}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u22du\int u^{22}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u22du=u2323\int u^{22}\, du = \frac{u^{23}}{23}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin23(x)23\frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

        Por lo tanto, el resultado es: sin23(x)23- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        11sin20(x)cos(x)dx=11sin20(x)cos(x)dx\int 11 \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 11 \int \sin^{20}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u20du\int u^{20}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u20du=u2121\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin21(x)21\frac{\sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin21(x)21\frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (55sin18(x)cos(x))dx=55sin18(x)cos(x)dx\int \left(- 55 \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 55 \int \sin^{18}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u18du\int u^{18}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u18du=u1919\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin19(x)19\frac{\sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

        Por lo tanto, el resultado es: 55sin19(x)19- \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        165sin16(x)cos(x)dx=165sin16(x)cos(x)dx\int 165 \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 165 \int \sin^{16}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u16du\int u^{16}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u16du=u1717\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin17(x)17\frac{\sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

        Por lo tanto, el resultado es: 165sin17(x)17\frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (330sin14(x)cos(x))dx=330sin14(x)cos(x)dx\int \left(- 330 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 330 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u14du\int u^{14}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u14du=u1515\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin15(x)15\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}

        Por lo tanto, el resultado es: 22sin15(x)- 22 \sin^{15}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        462sin12(x)cos(x)dx=462sin12(x)cos(x)dx\int 462 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 462 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u12du\int u^{12}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u12du=u1313\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin13(x)13\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

        Por lo tanto, el resultado es: 462sin13(x)13\frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (462sin10(x)cos(x))dx=462sin10(x)cos(x)dx\int \left(- 462 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 462 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u10du\int u^{10}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u10du=u1111\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin11(x)11\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}

        Por lo tanto, el resultado es: 42sin11(x)- 42 \sin^{11}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        330sin8(x)cos(x)dx=330sin8(x)cos(x)dx\int 330 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 330 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u8du\int u^{8}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u8du=u99\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin9(x)9\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 110sin9(x)3\frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (165sin6(x)cos(x))dx=165sin6(x)cos(x)dx\int \left(- 165 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 165 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u6du\int u^{6}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u6du=u77\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin7(x)7\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 165sin7(x)7- \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        55sin4(x)cos(x)dx=55sin4(x)cos(x)dx\int 55 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 55 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u4du\int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin5(x)5\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin5(x)11 \sin^{5}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (11sin2(x)cos(x))dx=11sin2(x)cos(x)dx\int \left(- 11 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 11 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sin(x)u = \sin{\left(x \right)}.

          Luego que du=cos(x)dxdu = \cos{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          u2du\int u^{2}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin3(x)3\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 11sin3(x)3- \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del coseno es seno:

        cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: sin23(x)23+11sin21(x)2155sin19(x)19+165sin17(x)1722sin15(x)+462sin13(x)1342sin11(x)+110sin9(x)3165sin7(x)7+11sin5(x)11sin3(x)3+sin(x)- \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (88179sin22(x)+1062347sin20(x)5870865sin18(x)+19684665sin16(x)44618574sin14(x)+72076158sin12(x)85180914sin10(x)+74364290sin8(x)47805615sin6(x)+22309287sin4(x)7436429sin2(x)+2028117)sin(x)2028117\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (88179sin22(x)+1062347sin20(x)5870865sin18(x)+19684665sin16(x)44618574sin14(x)+72076158sin12(x)85180914sin10(x)+74364290sin8(x)47805615sin6(x)+22309287sin4(x)7436429sin2(x)+2028117)sin(x)2028117+constant\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

(88179sin22(x)+1062347sin20(x)5870865sin18(x)+19684665sin16(x)44618574sin14(x)+72076158sin12(x)85180914sin10(x)+74364290sin8(x)47805615sin6(x)+22309287sin4(x)7436429sin2(x)+2028117)sin(x)2028117+constant\frac{\left(- 88179 \sin^{22}{\left(x \right)} + 1062347 \sin^{20}{\left(x \right)} - 5870865 \sin^{18}{\left(x \right)} + 19684665 \sin^{16}{\left(x \right)} - 44618574 \sin^{14}{\left(x \right)} + 72076158 \sin^{12}{\left(x \right)} - 85180914 \sin^{10}{\left(x \right)} + 74364290 \sin^{8}{\left(x \right)} - 47805615 \sin^{6}{\left(x \right)} + 22309287 \sin^{4}{\left(x \right)} - 7436429 \sin^{2}{\left(x \right)} + 2028117\right) \sin{\left(x \right)}}{2028117}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                                                                               
 |                                                                   7            19            3         23            21             9             17             13            
 |    23                   11            15            5      165*sin (x)   55*sin  (x)   11*sin (x)   sin  (x)   11*sin  (x)   110*sin (x)   165*sin  (x)   462*sin  (x)         
 | cos  (x) dx = C - 42*sin  (x) - 22*sin  (x) + 11*sin (x) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(x)
 |                                                                 7             19           3           23           21            3             17             13              
/                                                                                                                                                                                 
cos23(x)dx=Csin23(x)23+11sin21(x)2155sin19(x)19+165sin17(x)1722sin15(x)+462sin13(x)1342sin11(x)+110sin9(x)3165sin7(x)7+11sin5(x)11sin3(x)3+sin(x)\int \cos^{23}{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\sin^{23}{\left(x \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(x \right)}}{21} - \frac{55 \sin^{19}{\left(x \right)}}{19} + \frac{165 \sin^{17}{\left(x \right)}}{17} - 22 \sin^{15}{\left(x \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(x \right)}}{13} - 42 \sin^{11}{\left(x \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} - \frac{165 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + 11 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Respuesta [src]
                                                  7            19            3         23            21             9             17             13            
        11            15            5      165*sin (1)   55*sin  (1)   11*sin (1)   sin  (1)   11*sin  (1)   110*sin (1)   165*sin  (1)   462*sin  (1)         
- 42*sin  (1) - 22*sin  (1) + 11*sin (1) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(1)
                                                7             19           3           23           21            3             17             13              
165sin7(1)742sin11(1)11sin3(1)322sin15(1)55sin19(1)19sin23(1)23+11sin21(1)21+165sin17(1)17+sin(1)+462sin13(1)13+11sin5(1)+110sin9(1)3- \frac{165 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - 42 \sin^{11}{\left(1 \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - 22 \sin^{15}{\left(1 \right)} - \frac{55 \sin^{19}{\left(1 \right)}}{19} - \frac{\sin^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{165 \sin^{17}{\left(1 \right)}}{17} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(1 \right)}}{13} + 11 \sin^{5}{\left(1 \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(1 \right)}}{3}
=
=
                                                  7            19            3         23            21             9             17             13            
        11            15            5      165*sin (1)   55*sin  (1)   11*sin (1)   sin  (1)   11*sin  (1)   110*sin (1)   165*sin  (1)   462*sin  (1)         
- 42*sin  (1) - 22*sin  (1) + 11*sin (1) - ----------- - ----------- - ---------- - -------- + ----------- + ----------- + ------------ + ------------ + sin(1)
                                                7             19           3           23           21            3             17             13              
165sin7(1)742sin11(1)11sin3(1)322sin15(1)55sin19(1)19sin23(1)23+11sin21(1)21+165sin17(1)17+sin(1)+462sin13(1)13+11sin5(1)+110sin9(1)3- \frac{165 \sin^{7}{\left(1 \right)}}{7} - 42 \sin^{11}{\left(1 \right)} - \frac{11 \sin^{3}{\left(1 \right)}}{3} - 22 \sin^{15}{\left(1 \right)} - \frac{55 \sin^{19}{\left(1 \right)}}{19} - \frac{\sin^{23}{\left(1 \right)}}{23} + \frac{11 \sin^{21}{\left(1 \right)}}{21} + \frac{165 \sin^{17}{\left(1 \right)}}{17} + \sin{\left(1 \right)} + \frac{462 \sin^{13}{\left(1 \right)}}{13} + 11 \sin^{5}{\left(1 \right)} + \frac{110 \sin^{9}{\left(1 \right)}}{3}
-42*sin(1)^11 - 22*sin(1)^15 + 11*sin(1)^5 - 165*sin(1)^7/7 - 55*sin(1)^19/19 - 11*sin(1)^3/3 - sin(1)^23/23 + 11*sin(1)^21/21 + 110*sin(1)^9/3 + 165*sin(1)^17/17 + 462*sin(1)^13/13 + sin(1)
Respuesta numérica [src]
0.258509722128661
0.258509722128661

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.