Sr Examen

Integral de tan^5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1           
  /           
 |            
 |     5      
 |  tan (x) dx
 |            
/             
0             
01tan5(x)dx\int\limits_{0}^{1} \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx
Integral(tan(x)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Vuelva a escribir el integrando:

    tan5(x)=(sec2(x)1)2tan(x)\tan^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=sec2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2tan(x)sec2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      u22u+12udu\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        u22u+1udu=u22u+1udu2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u22u+1u=u2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            (2)du=2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          El resultado es: u222u+log(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u24u+log(u)2\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(sec2(x))2+sec4(x)4sec2(x)\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec2(x)1)2tan(x)=tan(x)sec4(x)2tan(x)sec2(x)+tan(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2tan(x)sec2(x))dx=2tan(x)sec2(x)dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          udu\int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sec2(x)- \sec^{2}{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (1u)du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(cos(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: log(cos(x))+sec4(x)4sec2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (sec2(x)1)2tan(x)=tan(x)sec4(x)2tan(x)sec2(x)+tan(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

        Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

        u3du\int u^{3}\, du

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          u3du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sec4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (2tan(x)sec2(x))dx=2tan(x)sec2(x)dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=sec(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan(x)sec(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          udu\int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

            udu=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: sec2(x)- \sec^{2}{\left(x \right)}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      2. que u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=sin(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos du- du:

        (1u)du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1udu=1udu\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: log(u)- \log{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log(cos(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

      El resultado es: log(cos(x))+sec4(x)4sec2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    log(sec2(x))2+sec4(x)4sec2(x)+constant\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(sec2(x))2+sec4(x)4sec2(x)+constant\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                 
 |                     /   2   \                4   
 |    5             log\sec (x)/      2      sec (x)
 | tan (x) dx = C + ------------ - sec (x) + -------
 |                       2                      4   
/                                                   
tan5(x)dx=C+log(sec2(x))2+sec4(x)4sec2(x)\int \tan^{5}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Respuesta [src]
                            2   
3                 -1 + 4*cos (1)
- - log(cos(1)) - --------------
4                        4      
                    4*cos (1)   
1+4cos2(1)4cos4(1)log(cos(1))+34- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{3}{4}
=
=
                            2   
3                 -1 + 4*cos (1)
- - log(cos(1)) - --------------
4                        4      
                    4*cos (1)   
1+4cos2(1)4cos4(1)log(cos(1))+34- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} - \log{\left(\cos{\left(1 \right)} \right)} + \frac{3}{4}
3/4 - log(cos(1)) - (-1 + 4*cos(1)^2)/(4*cos(1)^4)
Respuesta numérica [src]
0.87365244751029
0.87365244751029

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.