Integral de tan^5x+tan^3x dx

Solución

Ha introducido [src]

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  /                       
 |                        
 |  /   5         3   \   
 |  \tan (x) + tan (x)/ dx
 |                        
/                         
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(\tan^{5}{\left(x \right)} + \tan^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx$$

Integral(tan(x)^5 + tan(x)^3, (x, 0, 1))

Solución detallada

Integramos término a término:
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}$
2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sec^{2}{\left(x \right)}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
    El resultado es: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$
  Método #3
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$
  2. Integramos término a término:
    1. que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sec{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sec^{2}{\left(x \right)}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$
    El resultado es: $- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\tan^{3}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}$
2. que $u = \sec^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
  
  $\int \frac{u - 1}{2 u}\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}$
    2. Integramos término a término:
      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
        
        $\int 1\, du = u$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
        
        Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
      El resultado es: $u - \log{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$
El resultado es: $\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                              
 |                                 2         4   
 | /   5         3   \          sec (x)   sec (x)
 | \tan (x) + tan (x)/ dx = C - ------- + -------
 |                                 2         4   
/

$$\int \left(\tan^{5}{\left(x \right)} + \tan^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                          2   
1       1       -1 + 4*cos (1)
- + --------- - --------------
4        2             4      
    2*cos (1)     4*cos (1)

$$- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$

                          2   
1       1       -1 + 4*cos (1)
- + --------- - --------------
4        2             4      
    2*cos (1)     4*cos (1)

$$- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}}$$

1/4 + 1/(2*cos(1)^2) - (-1 + 4*cos(1)^2)/(4*cos(1)^4)

Respuesta numérica [src]

1.47078538753166

1.47078538753166

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Integral de tan^5x+tan^3x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3