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Resolución de integrales/ tan^5/ tan^3/ tan^5x+tan^3x

Integral de tan^5x+tan^3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  /   5         3   \   
 |  \tan (x) + tan (x)/ dx
 |                        
/                         
0
∫01(tan⁡5(x)+tan⁡3(x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\tan^{5}{\left(x \right)} + \tan^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx 
Integral(tan(x)^5 + tan(x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      tan⁡5(x)=(sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)\tan^{5}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)}

    2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

        Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫u2−2u+12u du\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{2 u}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−2u+1u du=∫u2−2u+1u du2\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 2 u + 1}{u}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−2u+1u=u−2+1u\frac{u^{2} - 2 u + 1}{u} = u - 2 + \frac{1}{u}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−2) du=−2u\int \left(-2\right)\, du = - 2 u

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            El resultado es: u22−2u+log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} - 2 u + \log{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: u24−u+log⁡(u)2\frac{u^{2}}{4} - u + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(sec⁡2(x))2+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)\frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−2tan⁡(x)sec⁡2(x)+tan⁡(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

            Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u du\int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡2(x)- \sec^{2}{\left(x \right)}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

        El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (sec⁡2(x)−1)2tan⁡(x)=tan⁡(x)sec⁡4(x)−2tan⁡(x)sec⁡2(x)+tan⁡(x)\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{4}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

          Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

          ∫u3 du\int u^{3}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u3 du=u44\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sec⁡4(x)4\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2tan⁡(x)sec⁡2(x)) dx=−2∫tan⁡(x)sec⁡2(x) dx\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx

          1. que u=sec⁡(x)u = \sec{\left(x \right)}.

            Luego que du=tan⁡(x)sec⁡(x)dxdu = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

            ∫u du\int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sec⁡2(x)2\frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sec⁡2(x)- \sec^{2}{\left(x \right)}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u) du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(cos⁡(x))- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}

        El resultado es: −log⁡(cos⁡(x))+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)- \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \sec^{2}{\left(x \right)}

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      tan⁡3(x)=(sec⁡2(x)−1)tan⁡(x)\tan^{3}{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \tan{\left(x \right)}

    2. que u=sec⁡2(x)u = \sec^{2}{\left(x \right)}.

      Luego que du=2tan⁡(x)sec⁡2(x)dxdu = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u−12u du\int \frac{u - 1}{2 u}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u−1u du=∫u−1u du2\int \frac{u - 1}{u}\, du = \frac{\int \frac{u - 1}{u}\, du}{2}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u−1u=1−1u\frac{u - 1}{u} = 1 - \frac{1}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 du=u\int 1\, du = u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

          El resultado es: u−log⁡(u)u - \log{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: u2−log⁡(u)2\frac{u}{2} - \frac{\log{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −log⁡(sec⁡2(x))2+sec⁡2(x)2- \frac{\log{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

    El resultado es: sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    (sec⁡2(x)−2)sec⁡2(x)4\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (sec⁡2(x)−2)sec⁡2(x)4+constant\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(sec⁡2(x)−2)sec⁡2(x)4+constant\frac{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 2\right) \sec^{2}{\left(x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                 2         4   
 | /   5         3   \          sec (x)   sec (x)
 | \tan (x) + tan (x)/ dx = C - ------- + -------
 |                                 2         4   
/
∫(tan⁡5(x)+tan⁡3(x)) dx=C+sec⁡4(x)4−sec⁡2(x)2\int \left(\tan^{5}{\left(x \right)} + \tan^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = C + \frac{\sec^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\sec^{2}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9020-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                          2   
1       1       -1 + 4*cos (1)
- + --------- - --------------
4        2             4      
    2*cos (1)     4*cos (1)
−−1+4cos⁡2(1)4cos⁡4(1)+14+12cos⁡2(1)- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}} 
=
= 
                          2   
1       1       -1 + 4*cos (1)
- + --------- - --------------
4        2             4      
    2*cos (1)     4*cos (1)
−−1+4cos⁡2(1)4cos⁡4(1)+14+12cos⁡2(1)- \frac{-1 + 4 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{4 \cos^{4}{\left(1 \right)}} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cos^{2}{\left(1 \right)}} 
1/4 + 1/(2*cos(1)^2) - (-1 + 4*cos(1)^2)/(4*cos(1)^4)
Respuesta numérica [src] 
1.47078538753166
1.47078538753166

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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