Integral de sec(x)tan^5(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan^{5}{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} = \left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{4} - 2 u^{2} + 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 2 u^{2}\right)\, du = - 2 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sec{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Integral secant times tangent es secant:

         $\int \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\, dx = \sec{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sec{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\sec^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{2} \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)} \sec^{5}{\left(x \right)} - 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sec{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. Integral secant times tangent es secant:

         $\int \tan{\left(x \right)} \sec{\left(x \right)}\, dx = \sec{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sec{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sec{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sec^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sec^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sec{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$