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Resolución de integrales/ cos^4/ cos^4(5x)

Integral de cos^4(5x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |     4        
 |  cos (5*x) dx
 |              
/               
0
∫01cos⁡4(5x) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{4}{\left(5 x \right)}\, dx 
Integral(cos(5*x)^4, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡4(5x)=(cos⁡(10x)2+12)2\cos^{4}{\left(5 x \right)} = \left(\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(10x)2+12)2=cos⁡2(10x)4+cos⁡(10x)2+14\left(\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(10x)4 dx=∫cos⁡2(10x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(10 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(10x)=cos⁡(20x)2+12\cos^{2}{\left(10 x \right)} = \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(20x)2 dx=∫cos⁡(20x) dx2\int \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(20 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=20xu = 20 x.

              Luego que du=20dxdu = 20 dx y ponemos du20\frac{du}{20}:

              ∫cos⁡(u)20 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du20\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)20\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(20x)20\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{20}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(20x)40\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(20x)40\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(20x)160\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(10x)2 dx=∫cos⁡(10x) dx2\int \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=10xu = 10 x.

          Luego que du=10dxdu = 10 dx y ponemos du10\frac{du}{10}:

          ∫cos⁡(u)10 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du10\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)10\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(10x)10\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(10x)20\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(10x)20+sin⁡(20x)160\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(10x)2+12)2=cos⁡2(10x)4+cos⁡(10x)2+14\left(\frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4} + \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2} + \frac{1}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡2(10x)4 dx=∫cos⁡2(10x) dx4\int \frac{\cos^{2}{\left(10 x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(10 x \right)}\, dx}{4}

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(10x)=cos⁡(20x)2+12\cos^{2}{\left(10 x \right)} = \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(20x)2 dx=∫cos⁡(20x) dx2\int \frac{\cos{\left(20 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(20 x \right)}\, dx}{2}

            1. que u=20xu = 20 x.

              Luego que du=20dxdu = 20 dx y ponemos du20\frac{du}{20}:

              ∫cos⁡(u)20 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{20}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du20\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{20}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)20\frac{\sin{\left(u \right)}}{20}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(20x)20\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{20}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(20x)40\frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

          El resultado es: x2+sin⁡(20x)40\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{40}

        Por lo tanto, el resultado es: x8+sin⁡(20x)160\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(10x)2 dx=∫cos⁡(10x) dx2\int \frac{\cos{\left(10 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(10 x \right)}\, dx}{2}

        1. que u=10xu = 10 x.

          Luego que du=10dxdu = 10 dx y ponemos du10\frac{du}{10}:

          ∫cos⁡(u)10 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{10}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du10\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{10}

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)10\frac{\sin{\left(u \right)}}{10}

          Si ahora sustituir uu más en:

          sin⁡(10x)10\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(10x)20\frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫14 dx=x4\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}

      El resultado es: 3x8+sin⁡(10x)20+sin⁡(20x)160\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x8+sin⁡(10x)20+sin⁡(20x)160+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x8+sin⁡(10x)20+sin⁡(20x)160+constant\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                              
 |                                               
 |    4               sin(10*x)   sin(20*x)   3*x
 | cos (5*x) dx = C + --------- + --------- + ---
 |                        20         160       8 
/
∫cos⁡4(5x) dx=C+3x8+sin⁡(10x)20+sin⁡(20x)160\int \cos^{4}{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(10 x \right)}}{20} + \frac{\sin{\left(20 x \right)}}{160}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       3                            
3   cos (5)*sin(5)   3*cos(5)*sin(5)
- + -------------- + ---------------
8         20                40
3sin⁡(5)cos⁡(5)40+sin⁡(5)cos⁡3(5)20+38\frac{3 \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{40} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos^{3}{\left(5 \right)}}{20} + \frac{3}{8} 
=
= 
       3                            
3   cos (5)*sin(5)   3*cos(5)*sin(5)
- + -------------- + ---------------
8         20                40
3sin⁡(5)cos⁡(5)40+sin⁡(5)cos⁡3(5)20+38\frac{3 \sin{\left(5 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{40} + \frac{\sin{\left(5 \right)} \cos^{3}{\left(5 \right)}}{20} + \frac{3}{8} 
3/8 + cos(5)^3*sin(5)/20 + 3*cos(5)*sin(5)/40
Respuesta numérica [src] 
0.353504852272579
0.353504852272579

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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