Integral de (cos^2ydy)sin^4y dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                   
  /                   
 |                    
 |     2       4      
 |  cos (y)*sin (y) dy
 |                    
/                     
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin^{4}{\left(y \right)} \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy$$

Integral(cos(y)^2*sin(y)^4, (y, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(y \right)} \cos^{2}{\left(y \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = 2 y$ .
  
  Luego que $du = 2 dy$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(\frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{16} + \frac{1}{16}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos^{3}{\left(u \right)}}{16}\, du = \frac{\int \cos^{3}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(u \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(u \right)}\right) \cos{\left(u \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos^{2}{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(u \right)} = \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$
      
      que $u = 2 u$ .
      
      Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos{\left(u \right)}}{16}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{16}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(u \right)}}{16}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$
    El resultado es: $\frac{u}{32} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{64} - \frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{48}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{y}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 y \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 y \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 y \right)}}{8}\, dy = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(2 y \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 y \right)}\right) \cos{\left(2 y \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(2 y \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 y \right)} dy$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 y \right)} = \frac{\cos{\left(4 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 y \right)}}{2}\, dy = \frac{\int \cos{\left(4 y \right)}\, dy}{2}$
      
      que $u = 4 y$ .
      
      Luego que $du = 4 dy$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 y \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y}{16} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{\int \cos{\left(2 y \right)}\, dy}{8}$
    1. que $u = 2 y$ .
      
      Luego que $du = 2 dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 y \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dy = \frac{y}{8}$
  El resultado es: $\frac{y}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2}\right)^{2} \left(\frac{\cos{\left(2 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right) = \frac{\cos^{3}{\left(2 y \right)}}{8} - \frac{\cos^{2}{\left(2 y \right)}}{8} - \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{3}{\left(2 y \right)}}{8}\, dy = \frac{\int \cos^{3}{\left(2 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(2 y \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(2 y \right)}\right) \cos{\left(2 y \right)}$
    2. que $u = \sin{\left(2 y \right)}$ .
      
      Luego que $du = 2 \cos{\left(2 y \right)} dy$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(\frac{1}{2} - \frac{u^{2}}{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{u^{2}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{u}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{6} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} + \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos^{2}{\left(2 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{\int \cos^{2}{\left(2 y \right)}\, dy}{8}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(2 y \right)} = \frac{\cos{\left(4 y \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(4 y \right)}}{2}\, dy = \frac{\int \cos{\left(4 y \right)}\, dy}{2}$
      
      que $u = 4 y$ .
      
      Luego que $du = 4 dy$ y ponemos $\frac{du}{4}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{4}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{4}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(4 y \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(4 y \right)}}{8}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dy = \frac{y}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{y}{2} + \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{8}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y}{16} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 y \right)}}{8}\right)\, dy = - \frac{\int \cos{\left(2 y \right)}\, dy}{8}$
    1. que $u = 2 y$ .
      
      Luego que $du = 2 dy$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 y \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{16}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{8}\, dy = \frac{y}{8}$
  El resultado es: $\frac{y}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{y}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                  
 |                             3                     
 |    2       4             sin (2*y)   sin(4*y)   y 
 | cos (y)*sin (y) dy = C - --------- - -------- + --
 |                              48         64      16
/

$$\int \sin^{4}{\left(y \right)} \cos^{2}{\left(y \right)}\, dy = C + \frac{y}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(2 y \right)}}{48} - \frac{\sin{\left(4 y \right)}}{64}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                        3                5          
1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         16              24               6

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{1}{16}$$

                        3                5          
1    cos(1)*sin(1)   sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
-- - ------------- - -------------- + --------------
16         16              24               6

$$- \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{24} + \frac{\sin^{5}{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{6} + \frac{1}{16}$$

1/16 - cos(1)*sin(1)/16 - sin(1)^3*cos(1)/24 + sin(1)^5*cos(1)/6

Respuesta numérica [src]

0.0586619776419157

0.0586619776419157

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (cos^2ydy)sin^4y dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3