Integral de (x^2-4)^3*x*dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} - 4$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{2} - 4\right)^{4}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(x^{2} - 4\right)^{3} = x^{7} - 12 x^{5} + 48 x^{3} - 64 x$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 x^{5}\right)\, dx = - 12 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 48 x^{3}\, dx = 48 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 64 x\right)\, dx = - 64 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 32 x^{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} - 2 x^{6} + 12 x^{4} - 32 x^{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} - 4\right)^{4}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} - 4\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} - 4\right)^{4}}{8}+ \mathrm{constant}$