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Resolución de integrales/ 2-x^2/ (1-x)/ (1-x)/sqrt(2-x^2)

Integral de (1-x)/sqrt(2-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     1 - x      
 |  ----------- dx
 |     ________   
 |    /      2    
 |  \/  2 - x     
 |                
/                 
0
∫011−x2−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx 
Integral((1 - x)/sqrt(2 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

      ∫(−u+12−u2) du\int \left(- \frac{u + 1}{\sqrt{2 - u^{2}}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u+12−u2 du=−∫u+12−u2 du\int \frac{u + 1}{\sqrt{2 - u^{2}}}\, du = - \int \frac{u + 1}{\sqrt{2 - u^{2}}}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          u+12−u2=u2−u2+12−u2\frac{u + 1}{\sqrt{2 - u^{2}}} = \frac{u}{\sqrt{2 - u^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 - u^{2}}}

        2. Integramos término a término:

          1. que u=2−u2u = 2 - u^{2}.

            Luego que du=−2ududu = - 2 u du y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

            ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −2−u2- \sqrt{2 - u^{2}}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12−u2 du=2∫11−u22 du2\int \frac{1}{\sqrt{2 - u^{2}}}\, du = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{2}}}\, du}{2}

            1. que u=2u2u = \frac{\sqrt{2} u}{2}.

              Luego que du=2du2du = \frac{\sqrt{2} du}{2} y ponemos 2du\sqrt{2} du:

              ∫21−u2 du\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫21−u2 du=2∫11−u2 du\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

                  ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              2asin⁡(2u2)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} u}{2} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(2u2)\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} u}{2} \right)}

          El resultado es: −2−u2+asin⁡(2u2)- \sqrt{2 - u^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} u}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2−u2−asin⁡(2u2)\sqrt{2 - u^{2}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} u}{2} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2−x2+asin⁡(2x2)\sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−x2−x2=−x−12−x2\frac{1 - x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = - \frac{x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x−12−x2) dx=−∫x−12−x2 dx\int \left(- \frac{x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x−12−x2=x2−x2−12−x2\frac{x - 1}{\sqrt{2 - x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}

      2. Integramos término a término:

        1. que u=2−x2u = 2 - x^{2}.

          Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2−x2- \sqrt{2 - x^{2}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−12−x2) dx=−∫12−x2 dx\int \left(- \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12−x2 dx=2∫11−x22 dx2\int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2}}}\, dx}{2}

            1. que u=2x2u = \frac{\sqrt{2} x}{2}.

              Luego que du=2dx2du = \frac{\sqrt{2} dx}{2} y ponemos 2du\sqrt{2} du:

              ∫21−u2 du\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫21−u2 du=2∫11−u2 du\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

                  ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              2asin⁡(2x2)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(2x2)\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −asin⁡(2x2)- \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

        El resultado es: −2−x2−asin⁡(2x2)- \sqrt{2 - x^{2}} - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: 2−x2+asin⁡(2x2)\sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−x2−x2=−x2−x2+12−x2\frac{1 - x}{\sqrt{2 - x^{2}}} = - \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x2−x2) dx=−∫x2−x2 dx\int \left(- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx

        1. que u=2−x2u = 2 - x^{2}.

          Luego que du=−2xdxdu = - 2 x dx y ponemos −du2- \frac{du}{2}:

          ∫(−12u) du\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −u- \sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2−x2- \sqrt{2 - x^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 2−x2\sqrt{2 - x^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12−x2 dx=2∫11−x22 dx2\int \frac{1}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2}}}\, dx}{2}

        1. que u=2x2u = \frac{\sqrt{2} x}{2}.

          Luego que du=2dx2du = \frac{\sqrt{2} dx}{2} y ponemos 2du\sqrt{2} du:

          ∫21−u2 du\int \frac{2}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫21−u2 du=2∫11−u2 du\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du

              ArcsinRule(context=1/sqrt(1 - _u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: 2asin⁡(u)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2asin⁡(2x2)\sqrt{2} \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: asin⁡(2x2)\operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

      El resultado es: 2−x2+asin⁡(2x2)\sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2−x2+asin⁡(2x2)+constant\sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2−x2+asin⁡(2x2)+constant\sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                         ________       /    ___\
 |    1 - x               /      2        |x*\/ 2 |
 | ----------- dx = C + \/  2 - x   + asin|-------|
 |    ________                            \   2   /
 |   /      2                                      
 | \/  2 - x                                       
 |                                                 
/
∫1−x2−x2 dx=C+2−x2+asin⁡(2x2)\int \frac{1 - x}{\sqrt{2 - x^{2}}}\, dx = C + \sqrt{2 - x^{2}} + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ___   pi
1 - \/ 2  + --
            4
−2+π4+1- \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} + 1 
=
= 
      ___   pi
1 - \/ 2  + --
            4
−2+π4+1- \sqrt{2} + \frac{\pi}{4} + 1 
1 - sqrt(2) + pi/4
Respuesta numérica [src] 
0.371184601024353
0.371184601024353

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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