Integral de 1/sqrt(0,5*x^2+1) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{2} + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}\, dx$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{2} + 1}}\, dx}{2}$

      1. que $u = \frac{\sqrt{2} x}{2}$.

         Luego que $du = \frac{\sqrt{2} dx}{2}$ y ponemos $\sqrt{2} du$:

         $\int \frac{2}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du = \sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}\, du$

            InverseHyperbolicRule(func=asinh, context=1/sqrt(_u**2 + 1), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt{2} \operatorname{asinh}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}+ \mathrm{constant}$