Integral de ((1/cbrt(x))+(2/sqrt(x)))^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{12 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{5} + 12 u^{4}}{u^{5}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{12 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{5} + 12 u^{4}}{u^{5}} = 3 + \frac{12}{u} + \frac{12}{\sqrt{u}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, du = 3 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{12}{u}\, du = 12 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(u \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{12}{\sqrt{u}}\, du = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $24 \sqrt{u}$

         El resultado es: $24 \sqrt{u} + 3 u + 12 \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 12 \log{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2} = \frac{4 x^{\frac{5}{6}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + x}{x^{\frac{5}{3}}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

         Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{12 u^{\frac{5}{4}} + 3 u^{\frac{3}{2}} + 12 u}{2 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{12 u^{\frac{5}{4}} + 3 u^{\frac{3}{2}} + 12 u}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{12 u^{\frac{5}{4}} + 3 u^{\frac{3}{2}} + 12 u}{u^{2}}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{12 u^{\frac{5}{4}} + 3 u^{\frac{3}{2}} + 12 u}{u^{2}} = \frac{12}{u} + \frac{3}{\sqrt{u}} + \frac{12}{u^{\frac{3}{4}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{12}{u}\, du = 12 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{\sqrt{u}}\, du = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $6 \sqrt{u}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{12}{u^{\frac{3}{4}}}\, du = 12 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{4}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{4}}}\, du = 4 \sqrt[4]{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $48 \sqrt[4]{u}$

               El resultado es: $48 \sqrt[4]{u} + 6 \sqrt{u} + 12 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $24 \sqrt[4]{u} + 3 \sqrt{u} + 6 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 6 \log{\left(x^{\frac{2}{3}} \right)}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 x^{\frac{5}{6}} + 4 x^{\frac{2}{3}} + x}{x^{\frac{5}{3}}} = \frac{4}{x} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{x^{\frac{5}{6}}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{4}{x^{\frac{5}{6}}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}\, dx = 6 \sqrt[6]{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $24 \sqrt[6]{x}$

         El resultado es: $24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 4 \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{2} = \frac{4}{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x} \sqrt{x}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{x}\, dx = 4 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4}{\sqrt[3]{x} \sqrt{x}}\, dx = 4 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x} \sqrt{x}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{u^{\frac{4}{3}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{4}{3}}}\, du = - \frac{3}{\sqrt[3]{u}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6}{\sqrt[3]{u}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $6 \sqrt[6]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $24 \sqrt[6]{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 4 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 4 \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 4 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$24 \sqrt[6]{x} + 3 \sqrt[3]{x} + 4 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$