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Resolución de integrales/ 1/sqr(x+6x^2)

Integral de 1/sqr(x+6x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |       1        
 |  ----------- dx
 |            2   
 |  /       2\    
 |  \x + 6*x /    
 |                
/                 
0
∫011(6x2+x)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\left(6 x^{2} + x\right)^{2}}\, dx 
Integral(1/((x + 6*x^2)^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(6x2+x)2=726x+1+36(6x+1)2−12x+1x2\frac{1}{\left(6 x^{2} + x\right)^{2}} = \frac{72}{6 x + 1} + \frac{36}{\left(6 x + 1\right)^{2}} - \frac{12}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫726x+1 dx=72∫16x+1 dx\int \frac{72}{6 x + 1}\, dx = 72 \int \frac{1}{6 x + 1}\, dx

        1. que u=6x+1u = 6 x + 1.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫16u du\int \frac{1}{6 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du6\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)6\frac{\log{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(6x+1)6\frac{\log{\left(6 x + 1 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: 12log⁡(6x+1)12 \log{\left(6 x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫36(6x+1)2 dx=36∫1(6x+1)2 dx\int \frac{36}{\left(6 x + 1\right)^{2}}\, dx = 36 \int \frac{1}{\left(6 x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=6x+1u = 6 x + 1.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫16u2 du\int \frac{1}{6 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=∫1u2 du6\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{6}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −16u- \frac{1}{6 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −16(6x+1)- \frac{1}{6 \left(6 x + 1\right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −66x+1- \frac{6}{6 x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x) dx=−12∫1x dx\int \left(- \frac{12}{x}\right)\, dx = - 12 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −12log⁡(x)- 12 \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −12log⁡(x)+12log⁡(6x+1)−66x+1−1x- 12 \log{\left(x \right)} + 12 \log{\left(6 x + 1 \right)} - \frac{6}{6 x + 1} - \frac{1}{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(6x2+x)2=136x4+12x3+x2\frac{1}{\left(6 x^{2} + x\right)^{2}} = \frac{1}{36 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      136x4+12x3+x2=726x+1+36(6x+1)2−12x+1x2\frac{1}{36 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2}} = \frac{72}{6 x + 1} + \frac{36}{\left(6 x + 1\right)^{2}} - \frac{12}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫726x+1 dx=72∫16x+1 dx\int \frac{72}{6 x + 1}\, dx = 72 \int \frac{1}{6 x + 1}\, dx

        1. que u=6x+1u = 6 x + 1.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫16u du\int \frac{1}{6 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du6\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)6\frac{\log{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(6x+1)6\frac{\log{\left(6 x + 1 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: 12log⁡(6x+1)12 \log{\left(6 x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫36(6x+1)2 dx=36∫1(6x+1)2 dx\int \frac{36}{\left(6 x + 1\right)^{2}}\, dx = 36 \int \frac{1}{\left(6 x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=6x+1u = 6 x + 1.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫16u2 du\int \frac{1}{6 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=∫1u2 du6\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{6}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −16u- \frac{1}{6 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −16(6x+1)- \frac{1}{6 \left(6 x + 1\right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −66x+1- \frac{6}{6 x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x) dx=−12∫1x dx\int \left(- \frac{12}{x}\right)\, dx = - 12 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −12log⁡(x)- 12 \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −12log⁡(x)+12log⁡(6x+1)−66x+1−1x- 12 \log{\left(x \right)} + 12 \log{\left(6 x + 1 \right)} - \frac{6}{6 x + 1} - \frac{1}{x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1(6x2+x)2=136x4+12x3+x2\frac{1}{\left(6 x^{2} + x\right)^{2}} = \frac{1}{36 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      136x4+12x3+x2=726x+1+36(6x+1)2−12x+1x2\frac{1}{36 x^{4} + 12 x^{3} + x^{2}} = \frac{72}{6 x + 1} + \frac{36}{\left(6 x + 1\right)^{2}} - \frac{12}{x} + \frac{1}{x^{2}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫726x+1 dx=72∫16x+1 dx\int \frac{72}{6 x + 1}\, dx = 72 \int \frac{1}{6 x + 1}\, dx

        1. que u=6x+1u = 6 x + 1.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫16u du\int \frac{1}{6 u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du6\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{6}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)6\frac{\log{\left(u \right)}}{6}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(6x+1)6\frac{\log{\left(6 x + 1 \right)}}{6}

        Por lo tanto, el resultado es: 12log⁡(6x+1)12 \log{\left(6 x + 1 \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫36(6x+1)2 dx=36∫1(6x+1)2 dx\int \frac{36}{\left(6 x + 1\right)^{2}}\, dx = 36 \int \frac{1}{\left(6 x + 1\right)^{2}}\, dx

        1. que u=6x+1u = 6 x + 1.

          Luego que du=6dxdu = 6 dx y ponemos du6\frac{du}{6}:

          ∫16u2 du\int \frac{1}{6 u^{2}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u2 du=∫1u2 du6\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{6}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −16u- \frac{1}{6 u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −16(6x+1)- \frac{1}{6 \left(6 x + 1\right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −66x+1- \frac{6}{6 x + 1}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−12x) dx=−12∫1x dx\int \left(- \frac{12}{x}\right)\, dx = - 12 \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −12log⁡(x)- 12 \log{\left(x \right)}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x2 dx=−1x\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}

      El resultado es: −12log⁡(x)+12log⁡(6x+1)−66x+1−1x- 12 \log{\left(x \right)} + 12 \log{\left(6 x + 1 \right)} - \frac{6}{6 x + 1} - \frac{1}{x}

  2. Ahora simplificar:

    12x(6x+1)(−log⁡(x)+log⁡(6x+1))−12x−1x(6x+1)\frac{12 x \left(6 x + 1\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(6 x + 1 \right)}\right) - 12 x - 1}{x \left(6 x + 1\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    12x(6x+1)(−log⁡(x)+log⁡(6x+1))−12x−1x(6x+1)+constant\frac{12 x \left(6 x + 1\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(6 x + 1 \right)}\right) - 12 x - 1}{x \left(6 x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

12x(6x+1)(−log⁡(x)+log⁡(6x+1))−12x−1x(6x+1)+constant\frac{12 x \left(6 x + 1\right) \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(6 x + 1 \right)}\right) - 12 x - 1}{x \left(6 x + 1\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                                                               
 |      1               1                  6                     
 | ----------- dx = C - - - 12*log(x) - ------- + 12*log(1 + 6*x)
 |           2          x               1 + 6*x                  
 | /       2\                                                    
 | \x + 6*x /                                                    
 |                                                               
/
∫1(6x2+x)2 dx=C−12log⁡(x)+12log⁡(6x+1)−66x+1−1x\int \frac{1}{\left(6 x^{2} + x\right)^{2}}\, dx = C - 12 \log{\left(x \right)} + 12 \log{\left(6 x + 1 \right)} - \frac{6}{6 x + 1} - \frac{1}{x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-50000000100000000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
1.3793236779486e+19
1.3793236779486e+19

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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