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Resolución de integrales/ sinx^3/ cos^6/ sinx^3/cos^6x

Integral de sinx^3/cos^6x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3      
 |  sin (x)   
 |  ------- dx
 |     6      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0
∫01sin⁡3(x)cos⁡6(x) dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx 
Integral(sin(x)^3/cos(x)^6, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    sin⁡3(x)cos⁡6(x)=(1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡6(x)\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫u2−1u6 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{6}}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2−1u6=1u4−1u6\frac{u^{2} - 1}{u^{6}} = \frac{1}{u^{4}} - \frac{1}{u^{6}}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1u6) du=−∫1u6 du\int \left(- \frac{1}{u^{6}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{6}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

          Por lo tanto, el resultado es: 15u5\frac{1}{5 u^{5}}

        El resultado es: −13u3+15u5- \frac{1}{3 u^{3}} + \frac{1}{5 u^{5}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −13cos⁡3(x)+15cos⁡5(x)- \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡6(x)=−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡6(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡6(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡6(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2−1u6) du\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{6}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2−1u6 du=−∫u2−1u6 du\int \frac{u^{2} - 1}{u^{6}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{6}}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            u2−1u6=1u4−1u6\frac{u^{2} - 1}{u^{6}} = \frac{1}{u^{4}} - \frac{1}{u^{6}}

          2. Integramos término a término:

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−1u6) du=−∫1u6 du\int \left(- \frac{1}{u^{6}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{6}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

              Por lo tanto, el resultado es: 15u5\frac{1}{5 u^{5}}

            El resultado es: −13u3+15u5- \frac{1}{3 u^{3}} + \frac{1}{5 u^{5}}

          Por lo tanto, el resultado es: 13u3−15u5\frac{1}{3 u^{3}} - \frac{1}{5 u^{5}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        13cos⁡3(x)−15cos⁡5(x)\frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} - \frac{1}{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}

      Por lo tanto, el resultado es: −13cos⁡3(x)+15cos⁡5(x)- \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡2(x))sin⁡(x)cos⁡6(x)=−sin⁡(x)cos⁡4(x)+sin⁡(x)cos⁡6(x)\frac{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}} + \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)cos⁡4(x)) dx=−∫sin⁡(x)cos⁡4(x) dx\int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{4}{\left(x \right)}}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−1u4) du\int \left(- \frac{1}{u^{4}}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u4 du=−∫1u4 du\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \int \frac{1}{u^{4}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

            Por lo tanto, el resultado es: 13u3\frac{1}{3 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          13cos⁡3(x)\frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

        Por lo tanto, el resultado es: −13cos⁡3(x)- \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}}

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−1u6) du\int \left(- \frac{1}{u^{6}}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u6 du=−∫1u6 du\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \int \frac{1}{u^{6}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

          Por lo tanto, el resultado es: 15u5\frac{1}{5 u^{5}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        15cos⁡5(x)\frac{1}{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}

      El resultado es: −13cos⁡3(x)+15cos⁡5(x)- \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}

  3. Ahora simplificar:

    3−5cos⁡2(x)15cos⁡5(x)\frac{3 - 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{15 \cos^{5}{\left(x \right)}}

  4. Añadimos la constante de integración:

    3−5cos⁡2(x)15cos⁡5(x)+constant\frac{3 - 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{15 \cos^{5}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3−5cos⁡2(x)15cos⁡5(x)+constant\frac{3 - 5 \cos^{2}{\left(x \right)}}{15 \cos^{5}{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                      
 |                                       
 |    3                                  
 | sin (x)              1           1    
 | ------- dx = C - --------- + ---------
 |    6                  3           5   
 | cos (x)          3*cos (x)   5*cos (x)
 |                                       
/
∫sin⁡3(x)cos⁡6(x) dx=C−13cos⁡3(x)+15cos⁡5(x)\int \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{6}{\left(x \right)}}\, dx = C - \frac{1}{3 \cos^{3}{\left(x \right)}} + \frac{1}{5 \cos^{5}{\left(x \right)}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-2525
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
               2   
2    -3 + 5*cos (1)
-- - --------------
15           5     
       15*cos (1)
215−−3+5cos⁡2(1)15cos⁡5(1)\frac{2}{15} - \frac{-3 + 5 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{15 \cos^{5}{\left(1 \right)}} 
=
= 
               2   
2    -3 + 5*cos (1)
-- - --------------
15           5     
       15*cos (1)
215−−3+5cos⁡2(1)15cos⁡5(1)\frac{2}{15} - \frac{-3 + 5 \cos^{2}{\left(1 \right)}}{15 \cos^{5}{\left(1 \right)}} 
2/15 - (-3 + 5*cos(1)^2)/(15*cos(1)^5)
Respuesta numérica [src] 
2.36355929817875
2.36355929817875

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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