Integral de pi((4y-2y^2)^2-(2y-y^2)^2) dy

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(\left(- 2 y^{2} + 4 y\right)^{2} - \left(- y^{2} + 2 y\right)^{2}\right)\, dy = \pi \int \left(\left(- 2 y^{2} + 4 y\right)^{2} - \left(- y^{2} + 2 y\right)^{2}\right)\, dy$

   1. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(- 2 y^{2} + 4 y\right)^{2} = 4 y^{4} - 16 y^{3} + 16 y^{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 y^{4}\, dy = 4 \int y^{4}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 y^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 16 y^{3}\right)\, dy = - 16 \int y^{3}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 4 y^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 16 y^{2}\, dy = 16 \int y^{2}\, dy$

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{16 y^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{4 y^{5}}{5} - 4 y^{4} + \frac{16 y^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(- y^{2} + 2 y\right)^{2}\right)\, dy = - \int \left(- y^{2} + 2 y\right)^{2}\, dy$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(- y^{2} + 2 y\right)^{2} = y^{4} - 4 y^{3} + 4 y^{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 4 y^{3}\right)\, dy = - 4 \int y^{3}\, dy$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- y^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 4 y^{2}\, dy = 4 \int y^{2}\, dy$

               1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 y^{3}}{3}$

            El resultado es: $\frac{y^{5}}{5} - y^{4} + \frac{4 y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{y^{5}}{5} + y^{4} - \frac{4 y^{3}}{3}$

      El resultado es: $\frac{3 y^{5}}{5} - 3 y^{4} + 4 y^{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{3 y^{5}}{5} - 3 y^{4} + 4 y^{3}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi y^{3} \left(3 y^{2} - 15 y + 20\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi y^{3} \left(3 y^{2} - 15 y + 20\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi y^{3} \left(3 y^{2} - 15 y + 20\right)}{5}+ \mathrm{constant}$