Integral de pi*((x+7)^2-(-6/x)^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(- \left(- \frac{6}{x}\right)^{2} + \left(x + 7\right)^{2}\right)\, dx = \pi \int \left(- \left(- \frac{6}{x}\right)^{2} + \left(x + 7\right)^{2}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(- \frac{6}{x}\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(- \frac{6}{x}\right)^{2}\, dx$

         1. que $u = - \frac{6}{x}$.

            Luego que $du = \frac{6 dx}{x^{2}}$ y ponemos $6 du$:

            $\int 6\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{36}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{36}{x}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = x + 7$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(x + 7\right)^{3}}{3}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(x + 7\right)^{2} = x^{2} + 14 x + 49$

         2. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 14 x\, dx = 14 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $7 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 49\, dx = 49 x$

            El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} + 7 x^{2} + 49 x$

      El resultado es: $\frac{\left(x + 7\right)^{3}}{3} + \frac{36}{x}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{\left(x + 7\right)^{3}}{3} + \frac{36}{x}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(x \left(x + 7\right)^{3} + 108\right)}{3 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(x \left(x + 7\right)^{3} + 108\right)}{3 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(x \left(x + 7\right)^{3} + 108\right)}{3 x}+ \mathrm{constant}$