Integral de pi*((66-x^2)^2-(5*x)^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(- \left(5 x\right)^{2} + \left(66 - x^{2}\right)^{2}\right)\, dx = \pi \int \left(- \left(5 x\right)^{2} + \left(66 - x^{2}\right)^{2}\right)\, dx$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(5 x\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(5 x\right)^{2}\, dx$

         1. que $u = 5 x$.

            Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

            $\int \frac{u^{2}}{5}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{25 x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{25 x^{3}}{3}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(66 - x^{2}\right)^{2} = x^{4} - 132 x^{2} + 4356$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 132 x^{2}\right)\, dx = - 132 \int x^{2}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 44 x^{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 4356\, dx = 4356 x$

         El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - 44 x^{3} + 4356 x$

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{5} - \frac{157 x^{3}}{3} + 4356 x$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{x^{5}}{5} - \frac{157 x^{3}}{3} + 4356 x\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi x \left(3 x^{4} - 785 x^{2} + 65340\right)}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi x \left(3 x^{4} - 785 x^{2} + 65340\right)}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi x \left(3 x^{4} - 785 x^{2} + 65340\right)}{15}+ \mathrm{constant}$