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Resolución de integrales/ -sinx/ -cosx/ pi*7^3*(x-sinx)*(1-cosx)^2

Integral de pi*7^3*(x-sinx)*(1-cosx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                                    
   /                                     
  |                                      
  |                                  2   
  |  pi*343*(x - sin(x))*(1 - cos(x))  dx
  |                                      
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 0
∫02π343π(x−sin⁡(x))(1−cos⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{2 \pi} 343 \pi \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral(((pi*343)*(x - sin(x)))*(1 - cos(x))^2, (x, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      343π(x−sin⁡(x))(1−cos⁡(x))2=343πxcos⁡2(x)−686πxcos⁡(x)+343πx−343πsin⁡(x)cos⁡2(x)+686πsin⁡(x)cos⁡(x)−343πsin⁡(x)343 \pi \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 343 \pi x \cos^{2}{\left(x \right)} - 686 \pi x \cos{\left(x \right)} + 343 \pi x - 343 \pi \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 686 \pi \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 343 \pi \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫343πxcos⁡2(x) dx=343π∫xcos⁡2(x) dx\int 343 \pi x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 343 \pi \int x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 343π(x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4)343 \pi \left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−686πxcos⁡(x)) dx=−686π∫xcos⁡(x) dx\int \left(- 686 \pi x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 686 \pi \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −686π(xsin⁡(x)+cos⁡(x))- 686 \pi \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫343πx dx=343π∫x dx\int 343 \pi x\, dx = 343 \pi \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 343πx22\frac{343 \pi x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−343πsin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−343π∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 343 \pi \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 343 \pi \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 343πcos⁡3(x)3\frac{343 \pi \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫686πsin⁡(x)cos⁡(x) dx=686π∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 686 \pi \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 686 \pi \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −343πcos⁡2(x)- 343 \pi \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−343πsin⁡(x)) dx=−343π∫sin⁡(x) dx\int \left(- 343 \pi \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 343 \pi \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 343πcos⁡(x)343 \pi \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: 343πx22−686π(xsin⁡(x)+cos⁡(x))+343π(x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4)+343πcos⁡3(x)3−343πcos⁡2(x)+343πcos⁡(x)\frac{343 \pi x^{2}}{2} - 686 \pi \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 343 \pi \left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\right) + \frac{343 \pi \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 343 \pi \cos^{2}{\left(x \right)} + 343 \pi \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      343π(x−sin⁡(x))(1−cos⁡(x))2=343πxcos⁡2(x)−686πxcos⁡(x)+343πx−343πsin⁡(x)cos⁡2(x)+686πsin⁡(x)cos⁡(x)−343πsin⁡(x)343 \pi \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = 343 \pi x \cos^{2}{\left(x \right)} - 686 \pi x \cos{\left(x \right)} + 343 \pi x - 343 \pi \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 686 \pi \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 343 \pi \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫343πxcos⁡2(x) dx=343π∫xcos⁡2(x) dx\int 343 \pi x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 343 \pi \int x \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 343π(x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4)343 \pi \left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−686πxcos⁡(x)) dx=−686π∫xcos⁡(x) dx\int \left(- 686 \pi x \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 686 \pi \int x \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −686π(xsin⁡(x)+cos⁡(x))- 686 \pi \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫343πx dx=343π∫x dx\int 343 \pi x\, dx = 343 \pi \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 343πx22\frac{343 \pi x^{2}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−343πsin⁡(x)cos⁡2(x)) dx=−343π∫sin⁡(x)cos⁡2(x) dx\int \left(- 343 \pi \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 343 \pi \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡3(x)3- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 343πcos⁡3(x)3\frac{343 \pi \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫686πsin⁡(x)cos⁡(x) dx=686π∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 686 \pi \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 686 \pi \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −343πcos⁡2(x)- 343 \pi \cos^{2}{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−343πsin⁡(x)) dx=−343π∫sin⁡(x) dx\int \left(- 343 \pi \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 343 \pi \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 343πcos⁡(x)343 \pi \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: 343πx22−686π(xsin⁡(x)+cos⁡(x))+343π(x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4)+343πcos⁡3(x)3−343πcos⁡2(x)+343πcos⁡(x)\frac{343 \pi x^{2}}{2} - 686 \pi \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 343 \pi \left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\right) + \frac{343 \pi \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 343 \pi \cos^{2}{\left(x \right)} + 343 \pi \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    343π(18x2−48xsin⁡(x)+6xsin⁡(2x)−18cos⁡(x)−9cos⁡(2x)+2cos⁡(3x)−15)24\frac{343 \pi \left(18 x^{2} - 48 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(2 x \right)} - 18 \cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} - 15\right)}{24}

  3. Añadimos la constante de integración:

    343π(18x2−48xsin⁡(x)+6xsin⁡(2x)−18cos⁡(x)−9cos⁡(2x)+2cos⁡(3x)−15)24+constant\frac{343 \pi \left(18 x^{2} - 48 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(2 x \right)} - 18 \cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} - 15\right)}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

343π(18x2−48xsin⁡(x)+6xsin⁡(2x)−18cos⁡(x)−9cos⁡(2x)+2cos⁡(3x)−15)24+constant\frac{343 \pi \left(18 x^{2} - 48 x \sin{\left(x \right)} + 6 x \sin{\left(2 x \right)} - 18 \cos{\left(x \right)} - 9 \cos{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(3 x \right)} - 15\right)}{24}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                                                                                                                                    
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 |                                 2                                                 2             |  sin (x)   x *cos (x)   x *sin (x)   x*cos(x)*sin(x)|                   343*pi*x    343*pi*cos (x)
 | pi*343*(x - sin(x))*(1 - cos(x))  dx = C - 686*pi*(x*sin(x) + cos(x)) - 343*pi*cos (x) + 343*pi*|- ------- + ---------- + ---------- + ---------------| + 343*pi*cos(x) + --------- + --------------
 |                                                                                                 \     4          4            4               2       /                       2             3       
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∫343π(x−sin⁡(x))(1−cos⁡(x))2 dx=C+343πx22−686π(xsin⁡(x)+cos⁡(x))+343π(x2sin⁡2(x)4+x2cos⁡2(x)4+xsin⁡(x)cos⁡(x)2−sin⁡2(x)4)+343πcos⁡3(x)3−343πcos⁡2(x)+343πcos⁡(x)\int 343 \pi \left(x - \sin{\left(x \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + \frac{343 \pi x^{2}}{2} - 686 \pi \left(x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}\right) + 343 \pi \left(\frac{x^{2} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x^{2} \cos^{2}{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{4}\right) + \frac{343 \pi \cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - 343 \pi \cos^{2}{\left(x \right)} + 343 \pi \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.56.0-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
686*pi          /  2       2\
------ + 343*pi*|- - + 3*pi |
  3             \  3        /
686π3+343π(−23+3π2)\frac{686 \pi}{3} + 343 \pi \left(- \frac{2}{3} + 3 \pi^{2}\right) 
=
= 
686*pi          /  2       2\
------ + 343*pi*|- - + 3*pi |
  3             \  3        /
686π3+343π(−23+3π2)\frac{686 \pi}{3} + 343 \pi \left(- \frac{2}{3} + 3 \pi^{2}\right) 
686*pi/3 + 343*pi*(-2/3 + 3*pi^2)
Respuesta numérica [src] 
31905.4587040285
31905.4587040285

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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