Sr Examen

Integral de ln(x²-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  3               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  - 1/ dx
 |                
/                 
2                 
23log(x21)dx\int\limits_{2}^{3} \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\, dx
Integral(log(x^2 - 1), (x, 2, 3))
Solución detallada
  1. Usamos la integración por partes:

    udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log(x21)u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)} y que dv(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du(x)=2xx21\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      1dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    2x2x21dx=2x2x21dx\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2x21=112(x+1)+12(x1)\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (12(x+1))dx=1x+1dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}

        1. que u=x+1u = x + 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x+1)2- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        12(x1)dx=1x1dx2\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}

        1. que u=x1u = x - 1.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          1udu\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(x1)\log{\left(x - 1 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(x1)2\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}

      El resultado es: x+log(x1)2log(x+1)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}

    Por lo tanto, el resultado es: 2x+log(x1)log(x+1)2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}

  3. Ahora simplificar:

    xlog(x21)2xlog(x1)+log(x+1)x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}

  4. Añadimos la constante de integración:

    xlog(x21)2xlog(x1)+log(x+1)+constantx \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

xlog(x21)2xlog(x1)+log(x+1)+constantx \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                   
 |                                                                    
 |    / 2    \                                   / 2    \             
 | log\x  - 1/ dx = C - log(-1 + x) - 2*x + x*log\x  - 1/ + log(1 + x)
 |                                                                    
/                                                                     
log(x21)dx=C+xlog(x21)2xlog(x1)+log(x+1)\int \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}
Gráfica
2.003.002.102.202.302.402.502.602.702.802.905-5
Respuesta [src]
-2 - log(2) - 3*log(3) + 3*log(8) + log(4)
3log(3)2log(2)+log(4)+3log(8)- 3 \log{\left(3 \right)} - 2 - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(4 \right)} + 3 \log{\left(8 \right)}
=
=
-2 - log(2) - 3*log(3) + 3*log(8) + log(4)
3log(3)2log(2)+log(4)+3log(8)- 3 \log{\left(3 \right)} - 2 - \log{\left(2 \right)} + \log{\left(4 \right)} + 3 \log{\left(8 \right)}
-2 - log(2) - 3*log(3) + 3*log(8) + log(4)
Respuesta numérica [src]
1.63563493959512
1.63563493959512

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.