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Resolución de integrales/ sin(pi*x)/ sin(pi*x)*sin(pi*x)

Integral de sin(pi*x)*sin(pi*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  sin(pi*x)*sin(pi*x) dx
 |                        
/                         
0
∫01sin⁡(πx)sin⁡(πx) dx\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(\pi x \right)} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx 
Integral(sin(pi*x)*sin(pi*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=πxu = \pi x.

    Luego que du=πdxdu = \pi dx y ponemos duπ\frac{du}{\pi}:

    ∫sin⁡2(u)π du\int \frac{\sin^{2}{\left(u \right)}}{\pi}\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫sin⁡2(u) du=∫sin⁡2(u) duπ\int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du}{\pi}

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        sin⁡2(u)=12−cos⁡(2u)2\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 du=u2\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2u)2) du=−∫cos⁡(2u) du2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2u)2\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2u)4- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

        El resultado es: u2−sin⁡(2u)4\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: u2−sin⁡(2u)4π\frac{\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}}{\pi}

    Si ahora sustituir uu más en:

    πx2−sin⁡(2πx)4π\frac{\frac{\pi x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4}}{\pi}

  2. Ahora simplificar:

    x2−sin⁡(2πx)4π\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2−sin⁡(2πx)4π+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2−sin⁡(2πx)4π+constant\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                  sin(2*pi*x)   pi*x
  /                             - ----------- + ----
 |                                     4         2  
 | sin(pi*x)*sin(pi*x) dx = C + --------------------
 |                                       pi         
/
∫sin⁡(πx)sin⁡(πx) dx=C+πx2−sin⁡(2πx)4π\int \sin{\left(\pi x \right)} \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = C + \frac{\frac{\pi x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4}}{\pi}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1/2
12\frac{1}{2} 
=
= 
1/2
12\frac{1}{2} 
1/2
Respuesta numérica [src] 
0.5
0.5

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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