Integral de sin(pi*x)*sin(pi*x) dx

1. que $u = \pi x$.

   Luego que $du = \pi dx$ y ponemos $\frac{du}{\pi}$:

   $\int \frac{\sin^{2}{\left(u \right)}}{\pi}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin^{2}{\left(u \right)}\, du}{\pi}$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\sin^{2}{\left(u \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2}\right)\, du = - \frac{\int \cos{\left(2 u \right)}\, du}{2}$

            1. que $u = 2 u$.

               Luego que $du = 2 du$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin{\left(2 u \right)}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\frac{u}{2} - \frac{\sin{\left(2 u \right)}}{4}}{\pi}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{\frac{\pi x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4}}{\pi}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{2} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{4 \pi}+ \mathrm{constant}$