Integral de x(2-sqrt(x)-((x/2)^2-4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - \sqrt{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- \frac{u^{7}}{2} + 2 u^{4} + 12 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u^{7}}{2}\right)\, du = - \frac{\int u^{7}\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{8}}{16}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{3}\, du = 12 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{4}$

         El resultado es: $- \frac{u^{8}}{16} + \frac{2 u^{5}}{5} + 3 u^{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{x^{4}}{16} + 3 x^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \left(\left(2 - \sqrt{x}\right) + \left(4 - \left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)\right) = - x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{4} + 6 x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{3}{2}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{3}{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{3}{2}}\, dx = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{3}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int x^{3}\, dx}{4}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6 x\, dx = 6 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{2}$

      El resultado es: $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{x^{4}}{16} + 3 x^{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{x^{4}}{16} + 3 x^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{x^{4}}{16} + 3 x^{2}+ \mathrm{constant}$