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Resolución de integrales/ x^0.5/ (lnx)/x/ sin(lnx)/ sin(lnx)/x^0.5

Integral de sin(lnx)/x^0.5 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo               
  /               
 |                
 |  sin(log(x))   
 |  ----------- dx
 |       ___      
 |     \/ x       
 |                
/                 
1
∫1∞sin⁡(log⁡(x))x dx\int\limits_{1}^{\infty} \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx 
Integral(sin(log(x))/sqrt(x), (x, 1, oo))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫eu2sin⁡(u) du\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du

    1. Usamos la integración por partes, notamos que al fin de cuentas el integrando se repite.

      1. Para el integrando eu2sin⁡(u)e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}:

        que u(u)=sin⁡(u)u{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu2\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}.

        Entonces ∫eu2sin⁡(u) du=2eu2sin⁡(u)−∫2eu2cos⁡(u) du\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)} - \int 2 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}\, du.

      2. Para el integrando 2eu2cos⁡(u)2 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}:

        que u(u)=2cos⁡(u)u{\left(u \right)} = 2 \cos{\left(u \right)} y que dv⁡(u)=eu2\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{\frac{u}{2}}.

        Entonces ∫eu2sin⁡(u) du=2eu2sin⁡(u)−4eu2cos⁡(u)+∫(−4eu2sin⁡(u)) du\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)} - 4 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)} + \int \left(- 4 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\right)\, du.

      3. Tenga en cuenta que el integrando se repite, por eso lo movemos hacia el lado:

        5∫eu2sin⁡(u) du=2eu2sin⁡(u)−4eu2cos⁡(u)5 \int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = 2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)} - 4 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}

        Por lo tanto,

        ∫eu2sin⁡(u) du=2eu2sin⁡(u)5−4eu2cos⁡(u)5\int e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{2 e^{\frac{u}{2}} \sin{\left(u \right)}}{5} - \frac{4 e^{\frac{u}{2}} \cos{\left(u \right)}}{5}

    Si ahora sustituir uu más en:

    2xsin⁡(log⁡(x))5−4xcos⁡(log⁡(x))5\frac{2 \sqrt{x} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5} - \frac{4 \sqrt{x} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5}

  2. Ahora simplificar:

    2x(sin⁡(log⁡(x))−2cos⁡(log⁡(x)))5\frac{2 \sqrt{x} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x(sin⁡(log⁡(x))−2cos⁡(log⁡(x)))5+constant\frac{2 \sqrt{x} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x(sin⁡(log⁡(x))−2cos⁡(log⁡(x)))5+constant\frac{2 \sqrt{x} \left(\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)} - 2 \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}\right)}{5}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                              
 |                          ___                   ___            
 | sin(log(x))          4*\/ x *cos(log(x))   2*\/ x *sin(log(x))
 | ----------- dx = C - ------------------- + -------------------
 |      ___                      5                     5         
 |    \/ x                                                       
 |                                                               
/
∫sin⁡(log⁡(x))x dx=C+2xsin⁡(log⁡(x))5−4xcos⁡(log⁡(x))5\int \frac{\sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{\sqrt{x}}\, dx = C + \frac{2 \sqrt{x} \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5} - \frac{4 \sqrt{x} \cos{\left(\log{\left(x \right)} \right)}}{5}
Simplificar
Respuesta [src] 
<-oo, oo>
⟨−∞,∞⟩\left\langle -\infty, \infty\right\rangle 
=
= 
<-oo, oo>
⟨−∞,∞⟩\left\langle -\infty, \infty\right\rangle 
AccumBounds(-oo, oo)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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