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Resolución de integrales/ cos(t)/ a(1-cos(t))a(1-cos(t))dt

Integral de a(1-cos(t))a(1-cos(t))dt dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2*pi                                
   /                                 
  |                                  
  |  a*(1 - cos(t))*a*(1 - cos(t)) dt
  |                                  
 /                                   
 0
∫02πaa(1−cos⁡(t))(1−cos⁡(t)) dt\int\limits_{0}^{2 \pi} a a \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right)\, dt 
Integral(((a*(1 - cos(t)))*a)*(1 - cos(t)), (t, 0, 2*pi))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      aa(1−cos⁡(t))(1−cos⁡(t))=a2cos⁡2(t)−2a2cos⁡(t)+a2a a \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) = a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)} - 2 a^{2} \cos{\left(t \right)} + a^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫a2cos⁡2(t) dt=a2∫cos⁡2(t) dt\int a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = a^{2} \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(t)=cos⁡(2t)2+12\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2t)2 dt=∫cos⁡(2t) dt2\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=2tu = 2 t.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2t)4\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          El resultado es: t2+sin⁡(2t)4\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: a2(t2+sin⁡(2t)4)a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2a2cos⁡(t)) dt=−2a2∫cos⁡(t) dt\int \left(- 2 a^{2} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 a^{2} \int \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2a2sin⁡(t)- 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫a2 dt=a2t\int a^{2}\, dt = a^{2} t

      El resultado es: a2t+a2(t2+sin⁡(2t)4)−2a2sin⁡(t)a^{2} t + a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) - 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      aa(1−cos⁡(t))(1−cos⁡(t))=a2cos⁡2(t)−2a2cos⁡(t)+a2a a \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) = a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)} - 2 a^{2} \cos{\left(t \right)} + a^{2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫a2cos⁡2(t) dt=a2∫cos⁡2(t) dt\int a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = a^{2} \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          cos⁡2(t)=cos⁡(2t)2+12\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫cos⁡(2t)2 dt=∫cos⁡(2t) dt2\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}

            1. que u=2tu = 2 t.

              Luego que du=2dtdu = 2 dt y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2t)2\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2t)4\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫12 dt=t2\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}

          El resultado es: t2+sin⁡(2t)4\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: a2(t2+sin⁡(2t)4)a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2a2cos⁡(t)) dt=−2a2∫cos⁡(t) dt\int \left(- 2 a^{2} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 a^{2} \int \cos{\left(t \right)}\, dt

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(t) dt=sin⁡(t)\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2a2sin⁡(t)- 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫a2 dt=a2t\int a^{2}\, dt = a^{2} t

      El resultado es: a2t+a2(t2+sin⁡(2t)4)−2a2sin⁡(t)a^{2} t + a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) - 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}

  2. Ahora simplificar:

    a2(6t−8sin⁡(t)+sin⁡(2t))4\frac{a^{2} \left(6 t - 8 \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    a2(6t−8sin⁡(t)+sin⁡(2t))4+constant\frac{a^{2} \left(6 t - 8 \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

a2(6t−8sin⁡(t)+sin⁡(2t))4+constant\frac{a^{2} \left(6 t - 8 \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                             
 |                                           2    2 /t   sin(2*t)\      2       
 | a*(1 - cos(t))*a*(1 - cos(t)) dt = C + t*a  + a *|- + --------| - 2*a *sin(t)
 |                                                  \2      4    /              
/
∫aa(1−cos⁡(t))(1−cos⁡(t)) dt=C+a2t+a2(t2+sin⁡(2t)4)−2a2sin⁡(t)\int a a \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = C + a^{2} t + a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) - 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}
Simplificar
Respuesta [src] 
      2
3*pi*a
3πa23 \pi a^{2} 
=
= 
      2
3*pi*a
3πa23 \pi a^{2} 
3*pi*a^2

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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