Integral de a(1-cos(t))a(1-cos(t))dt dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $a a \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) = a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)} - 2 a^{2} \cos{\left(t \right)} + a^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = a^{2} \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

               1. que $u = 2 t$.

                  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

            El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 a^{2} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 a^{2} \int \cos{\left(t \right)}\, dt$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int a^{2}\, dt = a^{2} t$

      El resultado es: $a^{2} t + a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) - 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $a a \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) \left(1 - \cos{\left(t \right)}\right) = a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)} - 2 a^{2} \cos{\left(t \right)} + a^{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int a^{2} \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt = a^{2} \int \cos^{2}{\left(t \right)}\, dt$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\cos^{2}{\left(t \right)} = \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2} + \frac{1}{2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{2}\, dt = \frac{\int \cos{\left(2 t \right)}\, dt}{2}$

               1. que $u = 2 t$.

                  Luego que $du = 2 dt$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$

                     1. La integral del coseno es seno:

                        $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{2}\, dt = \frac{t}{2}$

            El resultado es: $\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right)$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 a^{2} \cos{\left(t \right)}\right)\, dt = - 2 a^{2} \int \cos{\left(t \right)}\, dt$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(t \right)}\, dt = \sin{\left(t \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int a^{2}\, dt = a^{2} t$

      El resultado es: $a^{2} t + a^{2} \left(\frac{t}{2} + \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{4}\right) - 2 a^{2} \sin{\left(t \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{a^{2} \left(6 t - 8 \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{a^{2} \left(6 t - 8 \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{a^{2} \left(6 t - 8 \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}$