Integral de sin(3x)/(cos(3x))^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3 \sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt[3]{\cos{\left(u \right)}}}\, du}{3}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{3 \cos^{\frac{2}{3}}{\left(u \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(3 x \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt[3]{\cos{\left(3 x \right)}}$.

      Luego que $du = - \frac{\sin{\left(3 x \right)} dx}{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(3 x \right)}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(3 x \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(3 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{\frac{2}{3}}{\left(3 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$